Question

（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
（2）应用：如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S₁、S₂，则S₁+S₂的值等于

9

2

π

．（请直接写出结果）
（3）拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC=40千米，BD=60千米，且CD=80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的距离相等．

Answer 1

分析：（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；
（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S₁+S₂等于以斜边为直径的半圆面积；
（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．

解答：解：（1）∵

1

2

（a+b）（a+b）=2×

1

2

ab+

1

2

c²，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c²，
∴a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴a²+b²=c²；

（2）∵S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，
∴S₁+S₂=

1

8

π（AC²+BC²）=

1

8

πAB²=

9

2

π；

（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km．
∵O到A、B两个城市的距离相等，
∴AO=BO，即AO²=BO²，
由勾股定理，得40²+x²=60²+（80-x）²，
解得：x=52.5．
即O应建在离C点52.5千米处．
故答案为

9

2

π．

点评：本题考查了（1）勾股定理的证明．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
（2）根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
（3）勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．