Question

19．已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，BD．
（1）如图1，当∠ACD=∠CAD=45°时，求∠CBD的度数；
（2）如图2，当∠ACD=∠CAD=60°时，求证：AB+BC=BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CK⊥BD于点K，在AB的延长线上取点F，使∠FCG=60°，过点F作FH⊥BD于点H，BD=8，AB=5，GK=$\frac{3}{8}$，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）在BD截取BE=AB，连接CE，根据圆周角定理得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△ABE是等边三角形，△ACD是等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据圆周角定理得到∠CBD=∠ABC=∠CAD=60°，解直角三角形得到BK=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，CK=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，DK=$\frac{13}{2}$，由勾股定理得到CD=$\sqrt{C{K}^{2}+D{K}^{2}}$=7，求得AC=CD=7，根据相似三角形的性质得到AF=$\frac{49}{8}$，BF=$\frac{9}{8}$，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠CBD=∠CAD=45°；

（2）在BD截取BE=AB，连接CE，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵∠ACD=∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠DAE}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AED，
∴BC=DE，
∵BD=BE+DE，
∴BD=BC+AB；

（3）∵BD=8，AB=5，
∴BC=3，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CBD=∠ABC=∠CAD=60°，
∵CK⊥BD，
∴BK=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，CK=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DK=$\frac{13}{2}$，
∴CD=$\sqrt{C{K}^{2}+D{K}^{2}}$=7，
∴AC=CD=7，
∵∠FCG=60°，
∴∠FCG=∠CBD，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠BAC=∠CDB，
∴△AFC∽△DCB，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AF}{CD}$，
∴AF=$\frac{49}{8}$，
∴BF=$\frac{9}{8}$，
∵∠FBH=∠ABD=60°，
∵FH⊥BD，
∴BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．