Question

20．如图，线段AC∥x轴，点B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x轴于G，连OB，OC．
（1）判断△AOG的形状，并证明；
（2）如图1，若BO=CO且OG平分∠BOC，求证：OA⊥OB；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M为AO上的一点，且∠ACM=45°，若点B（1，-2），求M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠CAO=∠BAO，由平行线得出∠CAO=∠AOG，即∠BAO=∠AOG，即可；
（2）方法1、先判断出点F是BC中点，再用中位线得出AG=BG，从而判断出△AOB是直角三角形，即可；
方法2、先判断出△BFG≌△AMG，再判断出OB=BG，即可得出结论；
（3）方法1、先求出OG，从而求出AC，得出点A，C坐标，最后求出直线OA，CM的解析式，即可求出它们的交点坐标．
方法2、先判断出BM的∠ABC的角平分线，进而判断出OM=OB，再判断出△OBH≌△OMF即可得出结论．

解答 解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠BAO，
∵线段AC∥x轴，
∴∠CAO=∠AOG，
∴∠BAO=∠AOG，
∴GO=GA，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）方法1、如图1，

连接BC，
∵BO=CO且OG平分∠BOC，
∴BF=CF，
∵线段AC∥x轴，
∴AG=BG，
由（1）得OG=AG，
∴OG=$\frac{1}{2}$AB，
∴△AOB是直角三角形，
∴OA⊥OB，
方法2、如图3，
连接BC交x轴F，过点A作AM⊥x轴于M，
∵AC∥x轴，
∴CF=AM，
∵B，C关于x轴对称，
∴CB⊥x轴，CF=BF，
∴BF=AM，
在△BFG和△AMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGF=∠AGM}\\{∠BFG=∠AMG=90°}\\{BF=AM}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△AMG，
∴BG=AG，由（1）知，OG=AG，
∴OB=BG，
∴∠BOG=∠OBG，
∵OG=AG，
∴∠AOG=∠OAG，
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，
∴∠AOB+∠BOG+∠AOG=2∠AOB=180°，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB；

（3）方法1、如图2，连接BC，

由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，
∵点B（1，-2），
∴BF=2，OF=1，
在Rt△BFG中，BF=2，BG=FG+1，
根据勾股定理得，（FG+1）²=FG²+4，
∴FG=$\frac{3}{2}$，
∵AC∥OG，AG=BG，
∴AC=2FG=3，
由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，
∵点B（1，-2），
∴C（1，2），A（4，2），
∴直线OA解析式为y=$\frac{1}{2}$x①，
延长CM交x轴于E，
∵∠ACM=45°，
∴∠CEO=45°，
∴FE=FC=2，
∴E（3，0），
∵C（1，2），
∴直线AE解析式为y=-x+3②，
联立①②解得x=2，y=1，
∴M（2，1）．

方法2、如图4，
连接BC，过点B作BH⊥y轴于H，过点M作MF⊥x轴于F，
∵BC⊥x轴，AC∥x轴，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACM=45°，
∴∠BCM=90°-45°=∠ACM，
∴CM是∠ACB的平分线，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴BM的∠ABC的角平分线，
∴∠CBM=∠ABM，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOB=90°=∠HOG，
∴∠BOH=∠AOG=∠OAG=∠OBC=∠OCB，
∵∠OAB=∠AOG，
∴∠OCB=∠OAB，
∴∠OBM=∠OBC+∠CBM=∠OCB+∠ABM，
∵∠OMB=∠OAB+∠ABM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴OM=OB，
在△OBH和△OMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OHB=∠OFM=90°}\\{∠BOH=∠MOF}\\{OB=OM}\end{array}\right.$，
∴△OBH≌△OMF，
∴MF=BH=1，OF=OH=2，
∴M（1，2）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的判定，待定系数法求直线解析式，解本题的关键是求出FG．