Question

（2013年四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.

（1）求证:△APB∽△PEC;
（2）若CE＝3,求BP的长.

Answer 1

解：（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°。
∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP。
∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC。
∴△APB∽△PEC。
（2）过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，

∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4。
∵△APB∽△PEC，∴。
设BP=x，则PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，∴。
解得：x₁=3，x₂=4，
经检验：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解。
∴BP的长为：3或4。

（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可证得∠BAP=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△APB∽△PEC。
（2）首先过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，又由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。