Question

已知等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D．
证明：PD是⊙I的切线．

Answer 1

分析：过P点作出圆的切线，Q点为切点，通过证明Q点与D点重合来证明DPD与圆相切．

解答：证明：过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N．
∵CP为∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠BCP．
又∵PA、PQ均为⊙I的切线，
∴∠APC=∠NPC．
又CP公共边，
∴△ACP≌△NCP，
∴∠PAC=∠PNC．
由NM=QN，BA=BC，
∴△QNM∽△BAC，
故∠NMQ=∠ACB，
∴MQ∥AC
又∵MD∥AC，
∴MD和MQ为同一条直线．
又点Q、D均在⊙I上，
∴点Q和点D重合，
故PD是⊙I的切线．

点评：本题考查了切线的证明，和以往证明切线不同，本题采用了一种全新的证明切线的方法，即：作圆的切线，证明要证明的切线与所作切线重合．