Question

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=

2

5

；
（2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长．

Answer 1

分析：（1）利用当P点运动到A点时，△POC的面积为12，求出斜边AO即可；
（2）图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，8），得出y_E=y_D=8，此时图2中点P运动到与点B重合，根据点P在AB上运动时△POC的面积不变，可得AB与OC平行，求出直线AB的解析式，可得出直线OC的解析式，再由点C纵坐标为-2，可确定点C的坐标，继而求出OF的长度．

解答：解：（1）根据图形可得：当点P运动到点A时，△POC的面积为8，
∵OA=

42+22

=2

5

，
∴P移动的路径的长l=2

5

，
∴m的值为2

5

．
（2）∵图1中四边形ODEF是等腰梯形，点D的坐标为D（m，8），
∴y_E=y_D=8，此时图2中点O运动到与点B重合，
∵点B在x轴上，
∴S_△POC=

1

2

OB×2=8，
解得：OB=8，
即点B的坐标为（8，0），
∵点P在AB上运动时，△POC的面积不变，
∴可得OC∥AB，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A、B的坐标代入可得：

2k+b=3 8k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=4

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x+4，
∴直线OC的解析式为y=-

1

2

x，
∵点C的纵坐标为-2，
∴点C的横坐标为4，
∴点C的坐标为（4，-2），
∴OF=l=OA+AB+BC=2

5

+2

5

+2

5

=6

5

．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，涉及了等腰梯形的性质、平行线的性质及一次函数的知识，综合性较强，解答本题关键是将两图中的点对应起来，此题难度较大．