Question

【题目】如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.

（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面积之和.(保留与根号) .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB=CA，再根据CD=CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；
（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形ACE的面积．

（1）证明：连接CB，AB，CE，

∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB=CA，
又∵CD=CA，
∴AC=CD=BC，
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∵Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，
即弧AE的度数是180°，
∴AE是⊙O的直径；

（2）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，
∴根据勾股定理得：CE=2，
∴S阴影=S半圆-S△ACE=12.5π-×4×2

=．