Question

8．已知抛物线y=ax²-2amx+am²+2m+4的顶点P在一条定直线上
（1）直接写出直线l的解析式；
（2）若存在唯一的实数m，使抛物线经过原点．
①求此时的a和m的值；
②抛物线的对称轴与x轴交于点A，B为抛物线上一动点，以OA、OB为边作□OACB，若点C在抛物线上，求B的坐标．（3）抛物线与直线l的另一个交点Q，若a=1，直接写出△OPQ的面积的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出顶点坐标，即可解决问题．
（2）①抛物线经过原点，所以x=0时，y=0，得am²+2m+4=0，因为实数m唯一，所以△=0，得到4-16a=0，可得a=$\frac{1}{4}$，m=-4．
②如图1中，根据平行四边形的性质，可知点B的横坐标为-2，由此可以求出点B坐标．
（3）如图2中，直线y=2x+4与x轴交于点B（-2，0），交y轴于点A（0，4），作OM⊥AB于M．由$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$•AB•OM，求出OM，利用方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2m+4}\end{array}\right.$，可得P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），求出PQ的长即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=ax²-2amx+am²+2m+4=a（x-m）²+2m+4，
∴顶点P坐标为（m，2m+4），
∴顶点P在直线y=2x+4上．

（2）①∵抛物线经过原点，
∴x=0时，y=0，
∴am²+2m+4=0，
∵实数m唯一，
∴△=0，
∴4-16a=0，
∴a=$\frac{1}{4}$，m=-4．

②如图1中，

∵四边形OACB是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC=4，
∵BC∥x轴，A（-4，0），
根据对称性可知，B、C关于对称轴对称，
∴点B的横坐标为-2，y=$\frac{1}{4}$（x+4）²-4，
∴x=-2时，y=-3，
∴点B坐标为（-2，-3）．

（3）如图2中，

∵直线y=2x+4与x轴交于点B（-2，0），交y轴于点A（0，4），作OM⊥AB于M．
∴OB=2，OA=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$•AB•OM，
∴OM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2mx+m²+2m+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2m+4}\end{array}\right.$，消去y得x²-（2m+2）x+m（m+2）=0，解得x=m或m=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=2m+4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2}\\{y=2m+8}\end{array}\right.$，
∴P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），
∴PQ=$\sqrt{（m+2-m）^{2}+（2m+8-2m）^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•PQ•OM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{17}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{85}$．

点评 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式、方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．