Question

13．图中的虚线网格是等边三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形．
（1）边长为1的等边三角形的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）图①中的?ABCD的对角线AC的长=$\sqrt{13}$；
（3）图②中的四边形EFGH的面积=8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的三线合一以及30°所对的直角边是斜边的一半，结合勾股定理，即可计算其高；
（2）构造直角三角形，根据平行四边形的面积可得AK，根据勾股定理计算即可；
（3）可构造平行四边形，比如以FG为对角线构造平行四边形FPGM，S_FPGM=6S_△，故S_△FGM=3S_{单位正三角形}，同理可得其他部分的面积，进而可求出四边形EFGH的面积．

解答 解：（1）边长为1的正三角形的高=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）过点A作AK⊥BC于K（如图1）
在Rt△ACK中，AK=6÷4$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，KC=$\frac{5}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{K}^{2}+K{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$；

（3）如图2所示，将图形EFGH分割成五部分，以FG为对角线构造?FPGM，
∵?FPGM含有6个单位正三角形，
∴S_△FGM=3S单位正三角形，
同理可得S_△DGH=4S单位正三角形，S_△EFC=8S单位正三角形，S_△EDH=8S单位正三角形，S四边形_CMGD=9S单位正三角形，
∵正三角形的边长为1，
∴正三角形面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四边形EFGH}=（3+4+8+9+8）×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=8$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{13}$，8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用，熟知等边三角形的底边上的高和边长的关系：等边三角形的高是边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍；熟练运用勾股定理进行计算，不规则图形的面积要分割成规则图形后进行计算是解题关键．