Question

（2013•黔东南州一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，-1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）是否存在点P，使△ADP是直角三角形时？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0-2）²-1，a=1；
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）分两种情况：
①当点P₁为直角顶点时，点P₁与点B重合；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P₁（1，0）；
②当点A为△AP₂D₂的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD₂=45°；
当∠D₂AP₂=90°时，∠OAP₂=45°，
∴AO平分∠D₂AP₂；
又∵P₂D₂∥y轴，
∴P₂D₂⊥AO，
∴P₂、D₂关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（3，0），C（0，3）代入上式得：

3k+b=0 b=3

，
解得，

k=-1 b=3

，
∴y=-x+3；
设D₂（x，-x+3），P₂（x，x²-4x+3），
则有：（-x+3）+（x²-4x+3）=0，
即x²-5x+6=0；
解得x₁=2，x₂=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x²-4x+3=2²-4×2+3=-1；
∴P₂的坐标为P₂（2，-1）（即为抛物线顶点）．
综上所述，P点坐标为P₁（1，0），P₂（2，-1）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．