Question

如图，是一个活动衣架，固定位置后，呈现给大家的是两个菱形，连接其中一个菱形四条边的中点，可得到一个矩形．
联想学过的四边形知识，试探究：
（1）一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形（中点四边形）是什么图形？
（2）如果原四边形是特殊四边形（矩形、菱形或正方形），那么中点四边形是什么图形？
（3）如果中点四边形是特殊四边形（矩形、菱形或正方形），那么原四边形又是什么图形？

Answer 1

考点：三角形中位线定理,菱形的性质,矩形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的定义来判定平行四边形；
（2）根据矩形，菱形，正方形的判定方法来判定；
（3）由题目中图形给出的对角线垂直，对角线相等等条件来判定四边形．

解答：（1）一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形（中点四边形）是平行四边形．
证明：在任意四边形中，作出2条对角线，则中位线中相对的两条与对应的中位线平行，且长度均为对角线的

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，所以任意四边形的各边中点连线组成的四边形中，对边相等且平行，由此可以证明中点四边形为平行四边形．

（2）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形；
如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形；
如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形．
证明：原四边形为矩形，则其对角线长度相等，再根据（1）的证明可知，中点四边形为平行四边形，
所以此平行四边形的四条边相等，可以证明中点四边形为菱形；
原四边形为菱形，则其对角线互相垂直，再根据（1）的证明可知，中点四边形为平行四边形，
所以此平行四边形的对边垂直，可以证明中点四边形为矩形；
原四边形为正方形，则其对角线互相垂直，且对角线长度相等，再根据（1）的证明可知，中点四边形为平行四边形，所以中点平行四边形的四条边相等且对边垂直，可以证明中点四边形为正方形．

（3）如果中点四边形为矩形，则原四边形为菱形；
如果中点四边形为菱形，则原四边形为矩形；
如果中点四边形为正方形，则原四边形为正方形．
证明：如果中点四边形为矩形，则原四边形对角线互相垂直，且对边平行，可以证明原四边形为菱形；
如果中点四边形为菱形，则原四边形邻边互相垂直，且对边平行，可以证明原四边形为矩形；
如果中点四边形为正方形，则原四边形对角线互相垂直且邻边垂直，对边平行，可以证明原四边形为正方形．

点评：考查平行四边形的定义，以及定义判定方法判定平行四边形，矩形，菱形，正方形的实际应用．