Question

16．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），点A为反比例函数图象上的一点，作AB∥y轴，交直线y=x+m于点B，连结OA，OB．
（1）k=12；
（2）若△AOB的面积大于14，则点A的横坐标x的取值范围是x＜2-2$\sqrt{11}$或x＞2+2$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 （1）由点P的坐标利用待定系数法，即可求出k值；
（2）由点P的坐标利用待定系数法，即可求出直线PB的解析式，设点A的坐标为（n，$\frac{12}{n}$），则点B的坐标为（n，n-4），根据三角形的面积公式结合△AOB的面积大于14，即可得出关于n的一元二次不等式，解之即可得出结论．

解答 解：（1）将P（6，2）代入y=$\frac{k}{x}$中，
2=$\frac{k}{6}$，解得：k=12．
故答案为：12．
（2）将点P（6，2）代入y=x+m中，
2=6+m，解得：m=-4，
∴直线PB的解析式为y=x-4．
设点A的坐标为（n，$\frac{12}{n}$），则点B的坐标为（n，n-4），
则S_△OAB=$\frac{1}{2}$|n|×|$\frac{12}{n}$-（n-4）|＞14，
当n≤-2或n≥6时，有n²-4n-12＞28，
解得：n＜2-2$\sqrt{11}$或n＞2+2$\sqrt{11}$；
当-2＜n＜0或0＜n＜6时，有n²-4n+16＜0，
方程无解．
综上所述：点A的横坐标x＜2-2$\sqrt{11}$或x＞2+2$\sqrt{11}$时，△AOB的面积大于14．
故答案为：x＜2-2$\sqrt{11}$或x＞2+2$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式、三角形的面积以及解一元二次不等式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出k值；（2）根据三角形的面积公式结合△AOB的面积大于14，找出关于n的一元二次不等式．