Question

24、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？（不必证明）
（3）在（2）若将DM⊥ME换为MD=ME，能不能证明DM⊥ME？说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明线段相等，最常用的方法是证明线段所在的三角形全等，本题需要作出辅助线，构造出全等三角形进行证明；
（2）根据（1）中结论可得到类似的结论：MD=ME；
（3）构造出全等三角形，利用全等三角形的性质，利用角相等可得答案．

解答：证明：在AB上截取AM=DC，连接MD
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
又AM=DC，
∴BM=BD，
∴△MBD为等边三角形，
∴∠AMD=∠ACG=120°，
∵CF平分∠ACG，
∴∠DCE=120°，
∴∠AMD=∠DCE，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠B=∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠MAD，
∴△AMD≌△DCE，
∴DA=DE；

（2）MD=ME；

（3）可以证明，
证明如下：连接DB并延长到N，
使BN=BE，DN交ME于点O，连接MN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠MBN=135°，
∵BF平分∠CBG，
∴∠MBE=135°，∠DBE=90°，
∴∠MBN=∠MBE，
∴△MBN≌△MBE，
∴∠MNB=∠MEB，MN=ME，
∵ME=MD，
∴MN=MD，
∴∠MNB=∠MDN，
∴∠MDN=∠MEB，
∵∠MOD=∠BOE，
∴∠DME=∠DBE=90°．

点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质及正方形的性质；想法构造全等三角形是正确解答本题的关键．