Question

【题目】已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．

（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是　 　．

（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．

（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）∠BOE＝2∠FOH，理由详见解析；（3）45°或135°．

【解析】

（1）根据∠AOD＝90，∠DOE＝20得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110，再根据OH平分∠AOE，即可求解；

（2）可以设∠AOH＝x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，进而∠FOH＝90﹣∠HOE＝90﹣x，∠BOE＝180﹣∠AOE＝180﹣2x，即可得结论；

（3）分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解．

解：（1）因为∠AOD＝90，∠DOE＝20

所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110

因为OH平分∠AOE

所以∠HOE＝AOE＝55

所以∠FOH＝90﹣∠HOE＝35；

故答案为35；

（2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下：

设∠AOH＝x，

因为OH平分∠AOE

所以∠HOE＝∠AOH＝x

所以∠FOH＝90﹣∠HOE＝90﹣x

∠BOE＝180﹣∠AOE＝180﹣2x

所以∠BOE＝2∠FOH；

（3）如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内

因为OH平分∠AOE

所以∠HOE＝∠AOH＝AOE

因为OG平分∠BOF

∠FOG＝∠GOB＝BOF

所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH

＝BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）

＝（180﹣∠AOF）﹣AOE+∠AOF

＝90﹣AOF﹣（90+∠AOF）+∠AOF

＝90﹣AOF﹣45﹣AOF+∠AOF

＝45；

所以∠GOH的度数为45；

如图4，当OE落在其他位置时

因为OH平分∠AOE

所以∠HOE＝∠AOH＝AOE

因为OG平分∠BOF

∠FOG＝∠GOB＝BOF

所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH

＝BOF+∠AOH+∠AOF

＝（180﹣∠AOF）+AOE+∠AOF

＝90﹣AOF+（90﹣∠AOF）+∠AOF

＝90﹣AOF+45﹣AOF+∠AOF

＝135；

所以∠GOH的度数为135；

综上所述：∠GOH的度数为45或135．