Question

（2012•德化县模拟）如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，过点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁；过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂；…，这样一直做下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，则第1条线段A₁C=

2 5

5

，第2n条线段A_nC_n=

（

2 5

5

）²ⁿ

．

Answer 1

分析：先根据勾股定理计算出AB=

5

，易证得Rt△CAB∽Rt△A₁AC，利用相似比计算出A₁C=

2 5

5

；再利用Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，计算出A₁C₁=（

2 5

5

）²，
同理可得A₂C₂=（

2 5

5

）⁴，A₃C₂=（

2 5

5

）⁵，A₃C₃=（

2 5

5

）⁶，由此可得到A_nC_n=（

2 5

5

）²ⁿ．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=

BC2+AC2

=

5

，
∵CA₁⊥AB，
∴∠CA₁A=90°，
而∠CAB=∠A₁AC，
∴Rt△CAB∽Rt△A₁AC，
∴

2

A1C

=

5

1

，
∴A₁C=

2 5

5

，
同理可证明Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，
∴

BC

A1C1

=

AB

A1C

，即

2

A1C1

=

5

2 5 5

，
∴A₁C₁=（

2 5

5

）²，
同理可得A₂C₁=（

2 5

5

）³，
A₂C₂=（

2 5

5

）⁴，
A₃C₂=（

2 5

5

）⁵，
A₃C₃=（

2 5

5

）⁶，
∴A_nC_n=（

2 5

5

）²ⁿ．
故答案为

2 5

5

，（

2 5

5

）²ⁿ．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理和规律型问题的解决方法．