Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(n，0)是 x 轴上一点，点 B(0，m)是y轴上一点，且满足多项式(x＋m)(nx－2)的积中 x的二次项与一次项系数均为2.

（1）求出A,B两点坐标.

（2）如图1，点M为线段OA上一点，点P为 x 轴上一点，且满足BM＝MN，∠NAP=45°，证明：BM⊥MN.

（3）如图2，过O作OF⊥AB于F，以OB为边在y轴左侧作等边△OBM，连接AM交OF于点N，试探究：在线段AF，AN，MN中，哪条线段等于AM与ON差的一半？请写出这个等量关系并证明.

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（0，2）；（2）见解析；（3）AN=(AM-ON)，证明见解析

【解析】

（1）计算(x＋m)(nx－2)，然后令二次项系数和一次项系数均为2求出m、n的值，即可得出A、B的坐标；

（2）在y轴上取一点使得OC=OM，过点B作BD⊥MC于点D，延长NA与CM交于点E，先证△BDC≌△AEM，再证△BDM≌△MEN，得到∠BMD=∠N，然后由直角三角形的两锐角互余等量代换即可得出结论；

（3）在AM上截取一点C使CM=ON，连接BC并延长交x轴于点D．由∠BOM=60°得∠MOD=30°，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠OMA=∠OAM=15°，得到∠BAM=30°，∠BMA=45°，可证△OAN≌△BMC，可得到∠ABC=90°，进而利用含30°角直角三角形的性质和线段的和差关系即可得出结论．

（1）解：(x＋m)(nx－2)=nx2+(mn+2)x-2m，

∵x的二次项与一次项系数均为2，

∴，

解得m=2，n=2，

∴A（2，0），B（0，2）；

（2）在y轴上取一点使得OC=OM，过点B作BD⊥MC于点D，延长NA与CM交于点E，

∵OC=OM，∠COM=90°，

∴∠OCM=∠OMC=45°，

∴∠DCB=∠OCM=45°，∠AME=∠OMC=45°，

∴∠DCB=∠AME，

∵∠MAE=∠NAP=45°，

在△BDC中，∠DBC=90°-45°=45°，

∴∠MAE=∠DBC，

∵OA=OB，OM=OC，

∴AM=BC，

在△BDC和△AEM中，

∴△BDC≌△AEM（AAS），

∴BD=AE，

∴BD=ME，

在Rt△BDM和Rt△MEN中，

，

∴△BDM≌△MEN（HL），

∴∠BMD=∠N，

∵∠N+∠NME=90°，

∴∠BMD+∠NME=90°，

∴∠BMN=90°，

∴BM⊥MN；

（3）（3）AN=(AM-ON)．

证明：在AM上截取一点C使CM=ON，连接BC并延长交x轴于点D．

∵△OBM是等边三角形，

∴∠BOM=∠BMO=60°，MB=OB=2，

∴∠MOD=90°-60°=30°，

∵OM=OA，

∴∠OMA=∠OAM=15°，

∵OA=OB，OB⊥OA，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠BAM=45°-15°=30°，

∠BMA=60°-15°=45°，

∵△AOB是等腰直角三角形，OF⊥AB，

∴∠AON=45°，

∵OA=2，∴OA=MB，

在△OAN和△BMC中，

∴△OAN≌△BMC（SAS），

∴∠OAN=∠MBC=15°，AN=BC，

∴∠ABC=45°+60°-15°=90°，

在Rt△ABC中∠BAM=30°，

∴BC=AC，

∴AN=AC=(AM-CM)= (AM-ON)．