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已知⊙O,半径为6米,⊙O外一点P,到圆心O的距离为10米,作射线PM,PN,使PM经过圆心O,PN与⊙O相切,切点为H.
(1)根据上述条件,画出示意图;
(2)求PH的长;
(3)有两动点A,B,同时从点P出发,点A以5米/秒的速度沿射线PM方向运动,点B以4米/秒的速度沿射线PN方向运动.设运动的时间为t(秒).当t为何值时,直线AB与⊙O相切?

解:(1)根据已知画出示意图(图一):

(2)连接OH(图二),
∵PN与⊙O相切于点H,
∴OH⊥PN,
即∠OHP=90°,
∵OP=10,OH=6,
∴PH==8(cm).

(3)过点O作OC⊥AB,垂足为C(图三图四),
∵点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为4cm/s,运动时间为ts,
∴PA=5t,PB=4t,
∵PO=10,PH=8,
=
∵∠P=∠P,
∴△PAB∽△POQ,
∴∠PBA=∠PHO=90°,
∵∠BHO=∠CBH=∠OCB=90°,
∴四边形OCBH为矩形.
∴BH=OC.
∵⊙O的半径为6,
∴BH=OC=6时,直线AB与⊙O相切.
①当AB运动到如图三所示的位置,
BH=PH-PB=8-4t,
∵BH=6,
∴8-4t=6,
∴t=0.5(s).
②当AB运动到如图四所示的位置,
BH=PB-PH=4t-8,
∵BH=6,
∴4t-8=6,
∴t=3.5(s).
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切.
分析:(1)根据已知画图即可;
(2)PN与⊙O相切于点H,OH⊥PN,即∠OHP=90°,在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PH的值;
(3)过点O作OC⊥AB,垂足为C.直线AB与⊙O相切,则△PAB∽△POH,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出t的值.
点评:本题主要考查了圆的切线的性质,切线垂直于过切点的半径.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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x-2(π-2)
x-2(π-2)
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4x=2π×(x-2π+4)
4x=2π×(x-2π+4)
,解得x=
米,则绳子的长为
米.

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