Question

已知⊙O，半径为6米，⊙O外一点P，到圆心O的距离为10米，作射线PM，PN，使PM经过圆心O，PN与⊙O相切，切点为H．
（1）根据上述条件，画出示意图；
（2）求PH的长；
（3）有两动点A，B，同时从点P出发，点A以5米/秒的速度沿射线PM方向运动，点B以4米/秒的速度沿射线PN方向运动．设运动的时间为t（秒）．当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

解：（1）根据已知画出示意图（图一）：

（2）连接OH（图二），
∵PN与⊙O相切于点H，
∴OH⊥PN，
即∠OHP=90°，
∵OP=10，OH=6，
∴PH==8（cm）．

（3）过点O作OC⊥AB，垂足为C（图三图四），
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PH=8，
∴=，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PHO=90°，
∵∠BHO=∠CBH=∠OCB=90°，
∴四边形OCBH为矩形．
∴BH=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BH=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图三所示的位置，
BH=PH-PB=8-4t，
∵BH=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．
②当AB运动到如图四所示的位置，
BH=PB-PH=4t-8，
∵BH=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．
分析：（1）根据已知画图即可；
（2）PN与⊙O相切于点H，OH⊥PN，即∠OHP=90°，在直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PH的值；
（3）过点O作OC⊥AB，垂足为C．直线AB与⊙O相切，则△PAB∽△POH，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
点评：本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．