Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG．
（1）试猜想EG与CG之间的关系？请直接写出你的猜想；
（2）将△BEF分别以BC和直线AB为对称轴，经两次翻折后，点E、F分别落在直线AB与直线BD上，如图②，则线段EG和CG又有怎样的关系？请写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

（1）EG=CG，且EG⊥CG．
证明：过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K．
则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，

HG=IC ∠GHE=∠CIG HE=GI

，
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）EG=CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（2）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．


∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=

1

2

FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=

1

2

∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
则在△GFE≌△GMC中，

FG=GM ∠F=∠GMC EF=CM

∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．         
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．