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在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG.
(1)试猜想EG与CG之间的关系?请直接写出你的猜想;
(2)将△BEF分别以BC和直线AB为对称轴,经两次翻折后,点E、F分别落在直线AB与直线BD上,如图②,则线段EG和CG又有怎样的关系?请写出你的猜想,并加以证明.
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(1)EG=CG,且EG⊥CG.
证明:过GH⊥AB于点H,延长HG交CD于点I,作GK⊥AD于点K.
则四边形GIDK是正方形,四边形AKGH是矩形,
∴AK=HG,KD=DI=GI=AH,
∵AD=CD,
∴IC=HG,
∵ADGHEF,G是DF的中点,
∴HA=HE,
∴HE=GI,
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中,
HG=IC
∠GHE=∠CIG
HE=GI

∴Rt△HGE≌Rt△ICG(SAS),
∴EG=CG,∠HGE=∠GCI,∠HEG=∠CGI,
∴∠HGE+∠CGI=90°,
∴∠EGC=90°,
∴EG⊥CG;

(2)EG=CG,且EG⊥CG.
证明:延长FE交DC延长线于M,连MG.
∵∠AEM=90°,∠EBC=90°,∠BCM=90°,
∴四边形BEMC是矩形.
∴BE=CM,∠EMC=90°,
由图(2)可知,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,
∴∠EBF=45°,
又∵EF⊥AB,
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF,∠F=45°.
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∴EF=CM.
∵∠EMC=90°,FG=DG
∴MG=
1
2
FD=FG.
∵BC=EM,BC=CD,
∴EM=CD.
∵EF=CM,
∴FM=DM,
又∵FG=DG,
∠CMG=
1
2
∠EMC=45°,
∴∠F=∠GMC.
则在△GFE≌△GMC中,
FG=GM
∠F=∠GMC
EF=CM

∴△GFE≌△GMC(SAS).
∴EG=CG,∠FGE=∠MGC.         
∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG,
∴MG⊥FD,
∴∠FGE+∠EGM=90°,
∴∠MGC+∠EGM=90°,
即∠EGC=90°,
∴EG⊥CG.
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(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.
根据
SAS
SAS
,易证△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
时,仍有EF=BE+DF.
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.

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