Question

已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由d=|x₁-x₂|可知d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=p²，再由（1）中 x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q即可得出结论．

解答：解：∵抛物线y=x²+px+q过点（-1，-1），
∴-1=1-p+q，则p-2=q．
∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=p-2=q，
∴d2=（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=p2-4（p-2），
即d²=p²-4p+8=（p-2）²+4，
∴当p=2时，d²有最小值，最小值为4．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q是解答此题的关键．