Question

10．如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过C点的直线为l，AD⊥l于点D，且AC平分∠DAB
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若AD=3，AB=4，AD交$\widehat{AC}$于点E，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由AC为角平分线得到一对角相等，再由半径OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠DAC=∠OCA，由CD垂直于AD，得到∠ADC为直角，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，等量代换可得出∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD为直角，可得出OC与CD垂直，则CD为圆O的切线；
（2）连接CE、BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，证得∠DAC=∠BAC，推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，求出AC=2$\sqrt{3}$，得到∠DAC=∠CAB=30°推出$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，于是得到S_阴影=S_△CDE=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 （1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
又∵CD⊥AD，即∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
则CD是圆O的切线；

（2）解：连接CE、BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AC=$\sqrt{AD•AB}$，
∵AD=3，AB=4，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DAC=∠CAB=30°
∴∠ACE=30°，
∴∠EAC=∠ECA=∠BAC=30°，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，CD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴DE=1，
∴S_阴影=S_△CDE=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，利用了转化及等量代换的思想，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．