Question

【题目】定义：对于给定的二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0），其伴生一次函数为y=a（x﹣h）+k，例如：二次函数y=2（x+1）2﹣3的伴生一次函数为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

（1）已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，则其伴生一次函数的表达式为_____；

（2）试说明二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；

（3）如图，二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m（m≠0）的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，且两函数图象的交点的横坐标分别为1和2，在∠AOB内部的二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m的图象上有一动点P，过点P作x轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q，设点P的横坐标为n，直接写出线段PQ的长为时n的值．

Answer 1

【答案】y=x﹣5

【解析】分析：（1）根据定义，直接变形得到伴生一次函数的解析式；

（2）求出顶点，代入伴生函数解析式即可求解；

（3）根据题意得到伴生函数解析式，根据P点的坐标，坐标表示出纵坐标，然后通过PQ与x轴的平行关系，求得Q点的坐标，由PQ的长列方程求解即可.

详解：（1）∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，

∴其伴生一次函数的表达式为y=（x﹣1）﹣4=x﹣5，

故答案为y=x﹣5；

（2）∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点坐标为（1，﹣4），

∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，

∴其伴生一次函数的表达式为y=x﹣5，

∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，

∴（1，﹣4）在直线y=x﹣5上，

即：二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；

（3）∵二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴生一次函数为y=m（x﹣1）﹣4m=mx﹣5m，

∵P点的横坐标为n，（n＞2），

∴P的纵坐标为m（n﹣1）2﹣4m，

即：P（n，m（n﹣1）2﹣4m），

∵PQ∥x轴，

∴Q（（n﹣1）2+1，m（n﹣1）2﹣4m），

∴PQ=（n﹣1）2+1﹣n，

∵线段PQ的长为，

∴（n﹣1）2+1﹣n=，

∴n=．