Question

9．（1）已知n=$\frac{n（n+1）}{1•2}$-$\frac{（n-1）n}{1•2}$
那么1+2+3+…+n=$\frac{1•2}{1•2}$-$\frac{0•1}{1•2}$+$\frac{2•3}{1•2}$-$\frac{1•2}{1•2}$+$\frac{3•4}{1•2}$-$\frac{2•3}{1•2}$+…+$\frac{n（n+1）}{1•2}$-$\frac{（n-1）n}{1•2}$，
即1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{1•2}$-$\frac{0•1}{1•2}$=$\frac{n（n+1）}{1•2}$．
模仿上述求和过程，设n²=$\frac{n（n+1）（an+b）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n[a（n-1）+b]}{1•2•3}$，确定a与b的值，并计算1²+2²+3²+…+n²的结果．
（2）图1中，抛物线y=x²，直线x=1与x轴围成底边长为1的曲边三角形，其面积为S，现利用若干矩形面积和来逼近该值．
①将底边3等分，构建3个矩形（见图2），求其面积为S₃；
②将底边n等分，构建n个矩形（如图3），求其面积和S_n并化简；
③考虑当n充分大时S_n的逼近状况，并给出S的准确值．
（3）计算图4中抛物线y=2x²与直线y=2x+4所围成的阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）将n²=$\frac{n（n+1）（an+b）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n[a（n-1）+b]}{1•2•3}$通分化简，根据恒等式的性质，列出方程即可解决问题．再模仿例题即可解决问题．
（2）①根据矩形的面积公式即可即可．
②根据矩形的面积公式以及（1）中的结论即可即可．
③由S_n=$\frac{1}{{n}^{3}}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6{n}^{3}}$=$\frac{2{n}^{3}+{3n}^{2}+n}{6{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{6{n}^{2}}$，因为n充分大时，$\frac{1}{2n}$、$\frac{1}{6{n}^{2}}$接近于0，所以S_n的值逼近于$\frac{1}{3}$．
（3）如图4中，设抛物线y=2x²与直线y=2x+4的交点为A、B，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．记曲边三角形AEO的面积为S₁，曲边三角形OBF的面积为S₂．首先利用逼近法求出S₁、S₂，再根据S_阴=S_梯形AEFB-S₁-S₂计算即可．

解答 解：（1）∵n²=$\frac{n（n+1）（an+b）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n[a（n-1）+b]}{1•2•3}$=$\frac{（{n}^{2}+n）（an+b）-（{n}^{2}-n）（an-a+b）}{6}$=$\frac{3a{n}^{2}-an+2bn}{1•2•3}$，
∴a=2，b=1时等式成立．
∴1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1•2•3}{1•2•3}$-$\frac{0}{1•2•3}$+$\frac{2•3•5}{1•2•3}$-$\frac{1•2•3}{1•2•3}$+…$\frac{n（n+1）（2n+1）}{1•2•3}$-$\frac{（n-1）n（2n-1）}{1•2•3}$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

（2）①S₃=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$•（$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{3}$（$\frac{3}{3}$）²=$\frac{1}{27}$（1²+2²+3²）=$\frac{14}{27}$．

②由①可知S_n=$\frac{1}{{n}^{3}}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6{n}^{3}}$．

③∵S_n=$\frac{1}{{n}^{3}}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6{n}^{3}}$=$\frac{2{n}^{3}+{3n}^{2}+n}{6{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{6{n}^{2}}$，
∵n充分大时，$\frac{1}{2n}$、$\frac{1}{6{n}^{2}}$接近于0，
∴S_n的值逼近于$\frac{1}{3}$，
∴S=$\frac{1}{3}$．

（3）如图4中，设抛物线y=2x²与直线y=2x+4的交点为A、B，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．记曲边三角形AEO的面积为S₁，曲边三角形OBF的面积为S₂．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$交点$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴A（-1，2），B（2，8），E（-1，0），F（2，0），
将底边EO分成n等分，构建n个矩形
S₁=$\frac{1}{n}$•2•（$\frac{1}{n}$）²+$\frac{1}{n}$•2•（$\frac{2}{n}$）²+…+$\frac{1}{n}$•2•（$\frac{n}{n}$）²=$\frac{2}{{n}^{3}}$（1+2²+3²+…+n²），
由（2）
可知S₁逼近于$\frac{2}{3}$，同理可得S₂逼近于$\frac{16}{3}$，
∴S_阴=S_梯形AEFB-S₁-S₂=$\frac{2+8}{2}$•3-$\frac{2}{3}$-$\frac{16}{3}$=9．

点评 本题考查二次函数综合题，矩形的性质、逼近法求面积等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，属于创新题目，中考压轴题．