Question

【题目】如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）

（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．

（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．

（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．

Answer 1

【答案】（1）当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；（2）m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；（3）n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．

【解析】

（1）根据抛物线过原点和题目中的函数解析式可以求得m的值，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标；

（2）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m为何值时△PCD的面积最大，求得点C、D的坐标，由此求出△PCD的面积最大值；

（3）根据题意抛物线能把线段AB分成1：2，存在两种情况，求出两种情况下线段AB与抛物线的交点，即可得到当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．

（1）当y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1过原点（0，0）时，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，

当m1＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+1，

当m2＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+1，

由上可得，当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；

（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，

∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+2m+1），

当﹣m2+2m+1最大时，△PCD的面积最大，

∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，

∴当m＝1时，﹣m2+2m+1最大为2，

∴y＝﹣（x﹣1）2+2，

当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，

∴点C的坐标为（1﹣，0），点D的坐标为（1+，0）

∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，

∴S△PCD＝＝2，

即m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；

（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）

当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在该抛物线解析式上，

把（3，3﹣n）代入抛物线解析式得，

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+6；

把（4，3﹣n）代入抛物线解析式，得

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+11；

∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．