Question

【题目】如图，在线段上任取一点，将线段逆时针旋转得到线段，将线段顺时针旋转得到线段，连接，，，是的中点，连接交于点，连接交于点．直线分别交，于，两点，有下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确的结论是（ ）

A.①③④B.①②③C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①过点M作MN⊥BD，垂足为N，则MN∥DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出N为BD中点，由线段垂直平分线的性质得到BM=DM，再根据梯形中位线、等腰直角三角形的性质得出MN=BD，则∠BMD=90°，判断①正确；

②先由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理得出∠BPC=90°，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AP=PC，同理得出EQ=QC，则PQ是△CAE的中位线，由三角形中位线定理得到PQ∥AE，PQ=AE，又AF∥EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断②正确；

③先由平行四边形的性质得出FG=AE，又由②知PQ=AE，则FP+GQ=AE=PQ，判断③正确；

④先证明∠APF=∠DQG，又∠FAP=∠GDQ=45°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△APF∽△DQG，由相似三角形对应边成比例得出 ，同理△BPF∽△EQG，，则，AFEG=BFDG，又AF=EG，判断④正确．

解：①过点M作MN⊥BD，垂足为N，则MN∥DE∥AB，

∵点M是AE的中点，

∴N为BD中点，即MN垂直平分BD，

∴BM=DM．

∵MN是梯形ABDE的中位线，

∴MN=（AB+ED）=（BC+CD）=BD=BN=ND，

∴∠BMD=90°，

即BM⊥DM，故①正确；

②∵△BMD、△ABC均是等腰直角三角形，

∴∠MBD=∠ACB=45°，

∴∠BPC=90°，即BP⊥AC，

∴AP=PC，

同理EQ=QC，

∴PQ是△CAE的中位线，

∴PQ∥AE，PQ=AE，

又∵AF∥EG，

∴四边形AFGE为平行四边形，故②正确；

③∵四边形AFGE为平行四边形，

∴FG=AE，

∵PQ=AE，

∴FP+GQ=FG-PQ=AE-AE=AE=PQ，

即FP+GQ=PQ，故③正确；

④∵∠ACB=∠MDB=45°，

∴AC∥DM，

∴∠CPQ=∠MQP，

∵∠APF=∠CPQ，∠MQP=∠DQG，

∴∠APF=∠DQG，

∵∠FAP=∠GDQ=45°，

∴△APF∽△DQG，

∴，

同理△BPF∽△EQG，

∴，

∴，

∴AFEG=BFDG，

∵四边形AFEG是平行四边形，

∴AF=EG，

∴AF2=BFDG，故④正确．

故选：D．