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操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.
探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,(找出两对即可);并选择其中一组说明理由;
②当点P位于CD的中点时,直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比.

分两种情况:
①如图(1),
∵∠BPE=90°,
∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,
∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,
∴△BPC∽△PED.
如图(2),同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE.
②如图(1),∵△BPC∽△PED,
∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比,即PD与BC的比,
∵点P位于CD的中点,
∴PD与BC的比为1:2,
∴△PED与△BPC的周长比1:2,
△PED与△BPC的面积比1:4
如图(2),∵△BPC∽△BEP,
∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比,即BP与BC的比,
∵点P位于CD的中点,
设BC=2k,则PC=k,BP=k,
∴BP与BC的比为:2,
△BEP与△BPC的周长比为:2,△BEP与△BPC的面积比为5:4.
同理:△PCE∽△BPC,周长比1:2,面积比1:4.

解析

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科目:初中数学 来源: 题型:

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探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,并说明理由;
②当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少?

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②当点P位于CD的中点时,直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比.

 

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