Question

15．对于平面直角坐标系xOy中的点和⊙O，给出如下定义：过点A的直线l交⊙O于B，C两点，且A、B、C三点不重合，若在A、B、C三点中，存在位于中间的点恰为以另外两点为端点线段的中点时，则称点A为⊙O的价值点．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时．
①分别判断在点D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），E（-1，$\sqrt{3}$），F（2，3）中，是⊙O的价值点有D、E；
②若点P是⊙O的价值点，点P的坐标为（x，0），且x＞0，则x的最大值为3．
（2）如图2，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3与x轴，y轴分别交于M、N两点，⊙O半径为1，直线MN上是否存在⊙O的价值点？若存在，求出这些点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于G、H两点，⊙C的半径为1，且⊙C在x轴上滑动，若线段GH上存在⊙C的价值点P，求出圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①利用图象法即可得出结论．②取特殊点P（3，0）即可解决问题；
（2）当点A在⊙O内部时，点A必为价值点，当点A在⊙O外部时，由⊙O的半径为1，推出BC的最大值为2，人2点A为价值点，则AB=CB=2，可知OA=3，故以O为圆心，半径为3的圆内的点（不包括⊙O上的点）均为价值点，由此即可解决问题；
（3）当⊙C的圆心在点O时，HG上恰好存在⊙C的价值点K，因为⊙C的价值点是在以点C为圆心，半径为3的圆内（不包括⊙C上的点），易知当点C的坐标为（9，0）时，⊙C的价值点为点C；

解答 解：（1）①如图1中，观察图象可知，D、E是⊙O的价值点．

②如图2中，当P点坐标为（3，0）时，x的值最大．x的最大值为3．

故答案为D，E；3．
（2）当点A在⊙O内部时，点A必为价值点，
当点A在⊙O外部时，∵⊙O的半径为1，
∴BC的最大值为2，人2点A为价值点，则AB=CB=2，
∴OA=3，
故以O为圆心，半径为3的圆内的点（不包括⊙O上的点）均为价值点，
对于函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，令y=0，则x=3$\sqrt{3}$，
∴M（3$\sqrt{3}$，0），
令x=0，则y=3，∴N（0，3），
∴tan∠ONM=$\frac{OM}{ON}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ONM=60°，
∴OP=ON•sin∠ONM=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＞1，
∴直线MN上的点均在圆外，
如图3中，以O为圆心，ON为半径画圆，交直线MN于点G，则OG=ON=3，
∴⊙O的价值点必在线段NG上，
∵∠ONM=60°，OG=ON=3，
∴△ONG是等边三角形，
∴∠NOG=60°，∴∠MOG=30°，
过点G作GH⊥OM于点H
∵OG=3，
∴OH=OG•cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴价值点横坐标的取值范围为0≤x≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

（3）对于函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
令y=0，则x=6，
∴G（6，0），
令x=0，则y=2$\sqrt{3}$，
∴H（0，2$\sqrt{3}$），
∴tan∠HGO=$\frac{OH}{OG}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠HGO=30°，
过点O作OK⊥HG于K，则OK=$\frac{1}{2}$OG=3，
∴当⊙C的圆心在点O时，HG上恰好存在⊙C的价值点K，
∵⊙C的价值点是在以点C为圆心，半径为3的圆内（不包括⊙C上的点），
∴当点C的坐标为（9，0）时，⊙C的价值点为点C，
∴圆心C的横坐标的取值范围为0≤x≤9．

点评 本题考查圆的综合问题，解题关键是根据相邻点的定义，得出点P与圆心C的距离范围，本题涉及相似三角形的性质与判定，圆的性质等知识，综合程度较高，需要学生认真理解题意．