Question

如图，已知正比例函数y=

3

x与反比例函数y=

k

x

的图象都经过横坐标为1的点P，第一象限中的点A是函数y=

3

x图象上异于点P的一点，作AB∥y轴，交函数y=

k

x

的图象于点B，作AC∥x轴，交函数y=

k

x

的图象于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）试猜想：∠B的大小是否随点A位置的变化而变化？如果不变，求出∠B的度数，如果变化，请说明理由；
（3）当BC平分∠ABP时，求点A的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由正比例函数y=

3

x的图象经过横坐标为1的点P，可求得点P的坐标，又由反比例函数y=

k

x

的图象也经过点P，即可求得反比例函数的解析式；
（2）首先设正比例函数y=

3

x图象上一点A的坐标为（m，

3

m）（m＞0且m≠1）．由题意可得∠BAC=90°，点B的坐标为（m，

3

m

），点C的坐标为（

1

m

，

3

m），继而求得∠B=30°；
（3）由当BC平分∠ABP时，那么∠ABP=60°．可设直线PB的表达式为y=kx+b，交x轴于点D，y轴于点E．继而可求得PB的解析式，则可求得答案．

解答：解：（1）∵正比例函数y=

3

x的图象经过横坐标为1的点P，
∴点P的坐标为（1，

3

），
又∵反比例函数y=

k

x

的图象也经过点P，
∴

3

=

k

1

，
即k=

3

．
∴所求反比例函数的解析式为y=

3

x

；

（2）不变．
证明如下：
设正比例函数y=

3

x图象上一点A的坐标为（m，

3

m）（m＞0且m≠1）．
由题意，得∠BAC=90°，点B的坐标为（m，

3

m

），点C的坐标为（

1

m

，

3

m）．
∴AB=|

3

m-

3

m

|=|

3 (m2-1)

m

|，AC=|m-

1

m

|=|

m2-1

m

|．
∴tan∠B=

AC

AB

=

| m2-1 m |

| 3 (m2-1) m |

=

3

3

，
∴锐角∠B=30°，即不变．

（3）当BC平分∠ABP时，那么∠ABP=60°．
设直线PB的表达式为y=kx+b，交x轴于点D，y轴于点E．
那么点E的坐标为（0，b）、点D的坐标为（

3

b，0）．
∴0=

3

bk+b．
解得：k=-

3

3

．
又∵直线PB经过点P，
∴

3

=-

3

3

+b．
解得：b=

4 3

3

．
∴直线PB的表达式为：y=-

3

3

x+

4 3

3

，
又∵

y=- 3 3 x+ 4 3 3 y= 3 x

，
解得：

x=3 y= 3 3

；
∴点B的坐标为（3，

3

3

）．
∴点A的坐标为（3，3

3

）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的交点问题以及三角函数等知识．此题难度较大，综合性较强，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．