Question

如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧上一动点，当M点运动到使△ABM的面积最大时，CM交AB于点N，求MN•MC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可证得∠CAB=∠BCP，从而有∠PCB+∠OCB=∠ACO+∠OCB=90°，故PC是圆的切线．
（2）由题意知，M为的中点．过M作⊙O的直径MD，连接CD．易得∠COB=60°，圆的半径OB=3，又由于△MNO∽△MDC，则有，从而求得MN•MC的值．
解答：（1）证明：连接BC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠COB=2∠PCB，∠BOC=2∠OAC，
∴∠CAB=∠BCP．
∴∠PCO=90°．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：由题意知，M为的中点，
过M作⊙O的直径MD，连接CD，
∵AC=PC，
∴∠OAC=∠P．
∵∠BOC=2∠OAC，
∴∠BOC=2∠P．
∴∠P=30°．
∴2OC=OB+PB．
∴OB=3．
∵M为的中点，
∴OM⊥AB．
∵∠MON=∠MCD=90°，∠NMO=∠DMC，
∴△MNO∽△MDC．
∴．
即MN•MC=MO•MD=3×6=18．
点评：本题利用了直径对圆周角是直角，切线的概念，三角形的外角与内角的关系，等边对等角，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质求解．