Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE．
（1）求证：AE=CA；
（2）若AC⊥AB，AB=2，∠ABC=60°，求AC的长．

Answer 1

解：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD=∠ABE，
∵AB=CD，
∴∠BAD=∠D，
∴∠ABE=∠D，
在△AEB和△CAD中，
，
∴△AEB≌△CAD（SAS），
∴AE=CA；

（2）∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理可求得．
分析：（1）若要证明AE=CA，则可转化为证明△AEB≌△CAD即可；
（2）由AC⊥AB，可得△BAC是直角三角形，因为∠ABC=60°，所以∠ACB=30°，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BC的长，根据勾股定理即可求出AC的长．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和含30度角的直角三角形的性质，是重点内容，要熟练掌握．