Question

19．如图1，抛物线y=ax²+bx-2经过A（-1，0）、B（2，0）两点，叫y轴于点C，点P位抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式；
（2）如图1，当点P的横坐标为$\frac{2}{3}$时，求证：△OED∽△AOC；
（3）若点P在第四象限内，当OD=CP时，求△POD的面积；
（4）M是x轴上的一点，是否存在以点B、C、P、M为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（2，0）代入y=ax²+bx-2求出a、b，再求出C的坐标，代入直线BC即可，
（2）把x=$\frac{2}{3}$分别代入抛物线y₁=x²-x-2和直线y₂=x-2得求出点P、D的坐标，得出$\frac{OE}{OA}$=$\frac{ED}{OC}$，再根据∠OED=∠AOC=90°，即可得出△OED∽△AOC，
（3）设P、D两点的坐标分别为P（m，m²-m-2）、（m，m-2），过点C作CF⊥PD于点F，先证出Rt△OED≌Rt△CFP，得出PF=DE，m²-m=2-m，求出P、D两点的坐标，从而得出OE、PD，最后根据S_△POD=$\frac{1}{2}$PD•OE代入计算即可，
（4）分四种情况讨论，若四边形BCP₁M₁是平行四边形，P₁的纵坐标是-2，-2=x²-x-2得出x₁=0（舍去），x₂=1，从而求出M的坐标，若四边形BCM₃P₃是平行四边形，作P₃N⊥M₃B，根据2=x²-x-2，得出x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，即可求出M₃、M₄的坐标．

解答 解：（1）抛物线表达式：y₁=x²-x-2，直线BC的表达式：y₂=x-2，
（2）如图1，当点P的横坐标为$\frac{2}{3}$时，把x=$\frac{2}{3}$分别代入抛物线y₁=x²-x-2和直线y₂=x-2得：
y₁=-$\frac{20}{9}$，y₂=-$\frac{4}{3}$，
则点P、D的坐标分别为（$\frac{2}{3}$，-$\frac{20}{9}$），D（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
OE=$\frac{2}{3}$，OA=1，DE=$\frac{4}{3}$，OC=2，
∵$\frac{OE}{OA}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{ED}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{ED}{OC}$，
∵∠OED=∠AOC=90°，
∴△OED∽△AOC，
（3）设P、D两点的坐标分别为P（m，m²-m-2）、（m，m-2），
如图2，过点C作CF⊥PD于点F，∵DE=2-m，PE=-m²+m+2，EF=2，
∴PF=EF-PE=2-（-m²+m+2）=m²-m，
在Rt△OED和Rt△CFP中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=CP}\\{OE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OED≌Rt△CFP（HL），
∴PF=DE，
∴m²-m=2-m，
m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴P、D两点的坐标分别为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2），
∴OE=$\sqrt{2}$，PD=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_△POD=$\frac{1}{2}$PD•OE=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）×$\sqrt{2}$=2-$\sqrt{2}$，
（4）如图3，若四边形BCP₁M₁是平行四边形，
则P₁的纵坐标是-2，
由-2=x²-x-2得：
x₁=0（舍去），x₂=1，
∴CP₁=1，
∴M₁B=M₂B=1，
∴M₁的坐标为（3，0），M₂的坐标为（1，0），
如图4，若四边形BCM₃P₃是平行四边形，作P₃N⊥M₃B，
∵△M₃P₃N≌△BCO，
∵BO=CO=2，
∴P₃N=M₃N=2，
由y₁=x²-x-2得：2=x²-x-2，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴ON=-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴M₃O=1-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₃的坐标为（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，0），
若四边形BCM_4P4是平行四边形，作P₄Q⊥OB，
∵△M_4P4N≌△BCO，
∴P₄Q=M₄Q=2，
由y₁=x²-x-2得：2=x²-x-2，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴OQ=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₄O=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$-2=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₄的坐标为（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，0）．

点评 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、一元二次方程等，关键是根据题意画出所有图形，注意把不合题意的解舍去．