Question

已知关于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3有两实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实数根分别为x₁、x₂，求代数式x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

的最大值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先把方程化为一般式，然后根据判别式的意义得到△=4（m-3）²-4（m²-4m+3）≥0，再解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（m-3），x₁•x₂=m²-4m+3，再利用完全平方公式变形x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

得到-（x₁+x₂）²+3x₁x₂，再把根与系数的关系代入得到-4（m-3）²+3（m²-4m+3）=-m²+12m-27，然后配方得到x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

=-（m-6）²+9，再利用非负数的性质求最大值．

解答：解：（1）方程化为一般式得x²-2（m-3）x+m²-4m+3=0，
根据题意得△=4（m-3）²-4（m²-4m+3）≥0，
解得：m≤3；

（2）根据题意得x₁+x₂=2（m-3），x₁•x₂=m²-4m+3，
所以x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

=-（x₁+x₂）²+3x₁x₂=-4（m-3）²+3（m²-4m+3）
=-m²+12m-27
=-（m-6）²+9，
∵-（m-6）²≤0，
∴-（m-6）²+9≤9，
∴代数式x₁•x₂-x

2 1

-x

2 2

 的最大值为9．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．