把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG叠放在一起.且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转(旋转角α满足条件:0°＜α＜90°).四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分．(1)在上述旋转过程中.BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论,(2)连接HK.在上述旋转过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的

？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积

不变．
证明：连接CG，KH，
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，
∴∠ACG=∠B=45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
在△BGH与△CGK中，

∠B=∠KCG

BG=CG

∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四边形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=

S_△ABC=

×4×4=4，
即：S_{四边形CHGK}的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；

（2）∵AC=BC=4，Bk=x，
∴CH=4-x，CK=x．
由S_△GHK=S_{四边形CHGK}-S_△CHK，
得y=4-

x（4-x），
∴y=

x²-2x+4．
由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，
∴0＜x＜4；

（3）存在．
根据题意，得

x²-2x+4=

×8，
解这个方程，得x₁=1，x₂=3，
即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的

．

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