Question

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
【小题1】填空：GF的长度为________，等腰梯形DEFG的面积为________．
【小题2】操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’(如图2)探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

 

Answer 1

【小题1】2，6
【小题2】当x=2秒时，能成为菱形

解析考点：等腰直角三角形；菱形的判定；等腰梯形的性质。
专题：探究型．
分析：（1）根据三角形中位线定理求出GF的长，再利用辅助线的帮助过点GM⊥BC于M．推出2GF=BC，G为AB中点可知GM的值．从而求出梯形面积。
（2）①BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=1/2AB=2时，四边形BDG′G为菱形。
解答：（1）∵G、F分别是AB、AC的中点，
∴GF=1/2BC=1/2×4=2。
过G点作GM⊥BC于M，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G为AB中点。
∴GM=（1分）
∴S梯形DEFG=1/2（2+4）×=6，
∴等腰梯形DEFG的面积为6 （3分）。
故答案为：2，6
（2）能为菱形（4分）
由BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形（6分）
又AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，
∴AB=AC=4，
当BD=BG=1/2AB=2时，四边形BDG′G为菱形。
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形（8分）
点评：此题主要考查勾股定理、三角形中位线、等腰梯形的性质及菱形性质等知识点的综合运用，要求学生对所学知识能灵活运用。