Question

关于x的一元二次方程x²-（m-3）x-m²=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，试猜测x₁和x₂是同号还是异号，并对你的结论加以证明．
（3）若x₁和x₂满足|x₁|=|x₂|-2，求m的值．

Answer 1

（1）证明：△=（m-3）²+4m²
=5（m-）²+，
∵5（m-）²≥0，
∴5（m-）²+＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：x₁和x₂异号．理由如下：
∵x₁•x₂=-m²≤0，
∴x₁，x₂异号；

（3）解：根据题意得x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m²，
∵|x₁|=|x₂|-2，
∴|x₁|-|x₂|=-2，
若x₁＞0，x₂＜0，上式化简得：x₁+x₂=-2，
∴m-3=-2，解得m=1；
若x₁＜0，x₂＞0，上式化简得：-（x₁+x₂）=-2，
∴m-3=2，解得m=5，
∴m的值为1或5．
分析：（1）先计算判别式得到△=（m-3）²+4m²，配方得到△=5（m-）²+，然后根据非负数的性质和判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x₁•x₂=-m²≤0，则可判断x₁，x₂异号；
（3）根据根与系数的关系得x₁+x₂=m-3，再分类讨论：若x₁＞0，x₂＜0，则m-3=-2；若x₁＜0，x₂＞0，则m-3=2，然后分别解方程求出m．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．