Question

【题目】如图，点C在以AB为半径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D

关AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线与点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2

③当AD＝2时，EF与半圆相切；④当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正

确的结论（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

（1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF．
（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切．
（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．
（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．

接CD，如图1所示．

∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴结论“CE=CF”正确．

②当CD⊥AB时，如图2所示．

∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=BC=2．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为4．
∴结论“线段EF的最小值为2”错误．

③当AD=2时，连接OC，如图3所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2．
∴AD=DO．
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA=30°．
∴∠ECO=90°．
∴OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．
∴结论“EF与半圆相切”正确．

④当点F恰好落在

上时，连接FB、AF，如图4所示

∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴ ．
∵FC=EF，
∴FH=FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB=AB=4．
∴DB=4．
∴AD=AB-DB=4．
∴结论“AD=2 ”错误．

⑤如图所示：

∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影=2S△ABC
=2×ACBC
=ACBC
=4×4
=16．
∴EF扫过的面积为16．
∴结论“EF扫过的面积为16”正确．

所以①、③、⑤正确，共计3个.

故选：C.