Question

如图，已知四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=∠B=90°．E为AB上一点，且DE⊥DC，DF平分∠EDC交BC于F．
（1）请用尺规作图作出DF，保留作图痕迹，不要求写作法；
（2）连EF，若tan∠ADE=

1

4

，求EF的长；
（3）在（2）的条件下，作DG⊥BC于G，连接AG，交DE于M，则MA的长为

8

5

2

．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的作法作图即可；
（2）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，
由tan∠ADE=

1

4

根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=10-CF=10-x，BE=6．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF；
（3）利用已知得出△AEM∽△GDM，则

AM

MG

=

AE

DG

，求出AM即可．

解答：解：（1）如图1所示：DF即为所求；

（2）如图2所示：过D作DG⊥BC于G．
由已知可得四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
在△ADE和△GDC中，

∠ADE=∠GDC AD=DG ∠DAE=∠DGC

∴△ADE≌△GDC（ASA），
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中

DE=DC ∠EDF=∠CDF DF=DF

，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

4

，
∴AE=GC=2．
∴BC=10，
BE=6，设CF=x，则BF=10-CF=10-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（10-x）²+6²，
解得：x=6.8，
即EF=6.8；

（3）如图2所示：
由题意可得出：AB∥DG，
∴△AEM∽△GDM，
∴

AM

MG

=

AE

DG

，
∵AB=AD=8，∠A=∠B=90°，∠DGB=90°，
∴四边形ABDG是正方形，
∴DG=8，
∵AE=2，
∴

AM

8-AM

=

2

8

，
解得：AM=

8 2

5

．
故答案为：

8 2

5

．

点评：本题考查了梯形、正方形、直角三角形以及相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质等相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．