Question

8．如图，抛物线y=（m-1）x²+（5-5m）x+4经过△ABC的三个顶点，点A在x轴上，点C在y轴上，B与C是抛物线的对称点，AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（m，n）为抛物线ACB上的一个动点，连结PA，PB，用m的代数式表示△PAB的面积，并求当△PAB最大时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=（m-1）x²+（5-5m）x+4，确定点C（0，4），利用抛物线对称轴为x=-$\frac{5-5m}{2（m-1）}$=$\frac{5}{2}$，得到点B（5，4），BC=5，根据BC关于对称轴对称，即BC∥x轴，得到∠CBA=∠OAB，再利用AB平分∠CAO，可得∠CBA=∠CAB，AC=BC=5，在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AO=3，确定点A（-3，0），代入抛物线y=（m-1）x²+（5-5m）x+4，解得：m=$\frac{5}{6}$，即可确定抛物线的解析式；
（2）如图，从P作x轴垂线，交BC于点E，交AB于Q，交x轴于点F；则AF⊥PF，设长度为AF=h₁；则BE⊥PQ，设BE长度为h₂，显然h₁+h₂为A、B横坐标的差，为8，利用待定系数法求出直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，因为P在抛物线上，所以设P（m，-$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{5}{6}m$+4），Q（m，$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$），则PQ=-$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{5}{6}m$+4-（$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{1}{3}m+\frac{5}{2}$，分别表示出${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}•PQ•{h}_{1}$，${S}_{△BPQ}=\frac{1}{2}•PQ•{h}_{2}$，则S_△PAB=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}•PQ•（{h}_{1}+{h}_{2}）$=$-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{4}{3}m+10$=-$\frac{2}{3}（m-1）^{2}+\frac{32}{3}$，根据二次函数的性质，可得当m=-$\frac{b}{2a}$=1时，S_△PAB最大，代入P点横坐标m=1，n=-$\frac{1}{6}+\frac{5}{6}$+4=$\frac{14}{3}$，即可得到P（-1，$\frac{14}{3}$）．

解答 解：（1）抛物线y=（m-1）x²+（5-5m）x+4，
当x=0，则y=4．
因此C（0，4）
抛物线对称轴为x=-$\frac{5-5m}{2（m-1）}$=$\frac{5}{2}$，
∵B与C是抛物线的对称点，
∴B（5，4），BC=5，
∵BC关于对称轴对称，
∴BC∥x轴，
∴∠CBA=∠OAB
∵AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠OAB，
∴∠CBA=∠CAB，AC=BC=5，
在Rt△AOC中，AC=5，OC=4，则AO=$\sqrt{A{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3
∴A（-3，0），
抛物线y=（m-1）x²+（5-5m）x+4，
代入A点坐标，得：9（m-1）-3（5-5m）+4=0
解得：m=$\frac{5}{6}$
抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}{x}^{2}$+$\frac{5}{6}x$+4
（2）如图，从P作x轴垂线，交BC于点E，交AB于Q，交x轴于点F；则AF⊥PF，设长度为AF=h₁；则BE⊥PQ，设BE长度为h₂，

显然h₁+h₂为A、B横坐标的差，为8，
设直线AB解析式为y=kx+b
代入A、B坐标，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
所以y=$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，
因为P在抛物线上，所以设P（m，-$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{5}{6}m$+4），Q（m，$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$），
则PQ=-$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{5}{6}m$+4-（$\frac{1}{2}m+\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{6}{m}^{2}+\frac{1}{3}m+\frac{5}{2}$，
∵${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}•PQ•{h}_{1}$，${S}_{△BPQ}=\frac{1}{2}•PQ•{h}_{2}$，
∴S_△PAB=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}•PQ•（{h}_{1}+{h}_{2}）$=$-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{4}{3}m+10$=-$\frac{2}{3}（m-1）^{2}+\frac{32}{3}$，
当m=-$\frac{b}{2a}$=1时，S_△PAB最大
代入P点横坐标m=1，n=-$\frac{1}{6}+\frac{5}{6}$+4=$\frac{14}{3}$
所以P（1，$\frac{14}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质、勾股定理、平行线的性质、待定系数法求函数的解析式以及角平分线，解决本题的关键是求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质解决最值的问题．