【题目】如图①,在矩形中,点从边的中点出发,沿着速运动,速度为每秒2个单位长度,到达点后停止运动,点是上的点,,设的面积为,点运动的时间为秒,与的函数关系如图②所示.
(1)图①中= ,= ,图②中= .
(2)当=1秒时,试判断以为直径的圆是否与边相切?请说明理由:
(3)点在运动过程中,将矩形沿所在直线折叠,则为何值时,折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上.
【答案】(1)8,18,20;(2)不相切,证明见解析;(3)t=、5、.
【解析】
(1)由题意得出AB=2BE,t=2时,BE=2×2=4,求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=11时,2t=22,得出BC=18,当t=0时,点P在E处,m=△AEQ的面积=AQ×AE=20即可;
(2)当t=1时,PE=2,得出AP=AE+PE=6,由勾股定理求出PQ=2,设以PQ为直径的圆的圆心为O',作O'N⊥BC于N,延长NO'交AD于M,则MN=AB=8,O'M∥AB,MN=AB=8,由三角形中位线定理得出O'M=AP=3,求出O'N=MN-O'M=5<圆O'的半径,即可得出结论;
(3)分三种情况:①当点P在AB边上,A'落在BC边上时,作QF⊥BC于F,则QF=AB=8,BF=AQ=10,由折叠的性质得:PA'=PA,A'Q=AQ=10,∠PA'Q=∠A=90°,由勾股定理求出A'F==6,得出A'B=BF-A'F=4,在Rt△A'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,由勾股定理得出方程,解方程即可;
②当点P在BC边上,A'落在BC边上时,由折叠的性质得:A'P=AP,证出∠APQ=∠AQP,得出AP=AQ=A'P=10,在Rt△ABP中,由勾股定理求出BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6,解方程即可;
③当点P在BC边上,A'落在CD边上时,由折叠的性质得:A'P=AP,A'Q=AQ=10,在Rt△DQA'中,DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出DA'=6,得出A'C=CD-DA'=2,在Rt△ABP和Rt△A'PC中,BP=2t-4,CP=BC-BP=22-2t,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)∵点P从AB边的中点E出发,速度为每秒2个单位长度,
∴AB=2BE,
由图象得:t=2时,BE=2×2=4,
∴AB=2BE=8,AE=BE=4,
t=11时,2t=22,
∴BC=22-4=18,
当t=0时,点P在E处,m=△AEQ的面积=AQ×AE=×10×4=20;
故答案为:8,18,20;
(2)当t=1秒时,以PQ为直径的圆不与BC边相切,理由如下:
当t=1时,PE=2,
∴AP=AE+PE=4+2=6,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∴PQ=,
设以PQ为直径的圆的圆心为O',作O'N⊥BC于N,延长NO'交AD于M,如图1所示:
则MN=AB=8,O'M∥AB,MN=AB=8,
∵O'为PQ的中点,
∴O'M是△APQ的中位线,
∴O'M=AP=3,
∴O'N=MN-O'M=5<,
∴以PQ为直径的圆不与BC边相切;
(3)分三种情况:①当点P在AB边上,A'落在BC边上时,作QF⊥BC于F,如图2所示:
则QF=AB=8,BF=AQ=10,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,CD=AB=8,AD=BC=18,
由折叠的性质得:PA'=PA,A'Q=AQ=10,∠PA'Q=∠A=90°,
∴A'F==6,
∴A'B=BF-A'F=4,
在Rt△A'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,
由勾股定理得:42+(4-2t)2=(4+2t)2,
解得:t=;
②当点P在BC边上,A'落在BC边上时,连接AA',如图3所示:
由折叠的性质得:A'P=AP,
∴∠APQ'=∠A'PQ,
∵AD∥BC,
∴∠AQP=∠A'PQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AP=AQ=A'P=10,
在Rt△ABP中,由勾股定理得:BP==6,
又∵BP=2t-4,
∴2t-4=6,解得:t=5;
③当点P在BC边上,A'落在CD边上时,连接AP、A'P,如图4所示:
由折叠的性质得:A'P=AP,A'Q=AQ=10,
在Rt△DQA'中,DQ=AD-AQ=8,
由勾股定理得:DA'==6,
∴A'C=CD-DA'=2,
在Rt△ABP和Rt△A'PC中,BP=2t-4,CP=BC-BP=18-(2t-4)=22-2t,
由勾股定理得:AP2=82+(2t-4)2,A'P2=22+(22-2t)2,
∴82+(2t-4)2=22+(22-2t)2,
解得:t=;
综上所述,t为或5或时,折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一直线分别于轴、轴交于A、B两点,点A、点D关于原点对称,过点A的抛物线与射线AB交于另一点C,若将沿着CO所在的直线翻折得到,与重叠部分的面积为的.
(1)求B、D两点的坐标(用m的代数式表示).
(2)当落在抛物线上时,求二次函数的解析式.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交x轴于点H,交直线AB于点F,作PG⊥AB于点G.求出△PFG的周长最大值;
(3)在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M,使得△ABM与△ABD的面积相等?若存在,请求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次,每次射靶的成绩如下:
甲:,,,,,,,,,
乙:,,,,,,,,,
丙:,,,,,,,,,
(1)根据以上数据完成下表:
平均数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | |||
乙 | |||
丙 |
(2)比赛时三人依次出场,顺序由抽签方式决定,求甲、乙相邻出场的概率.
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【题目】为了缓解上学时校门口的交通压力,某校随机抽取了部分学生进行了调查,来了解学生的到校方式,并根据调查结果绘制了如下统计图表:
根据统计图所提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查中的样本容量是 ,= .
(2)扇形统计图中学生到校方式是“步行”所对应扇形的圆心角的度数是 .
(3)若该校共有1500名学生,请根据统计结果估计该校到校方式为“乘车”的学生人数;
(4)现从四名采取不同到校方式的学生中抽取两名学生进行问卷调查,请你用列表或画树状图的方法,求出正好选到到校方式为“骑车”和“步行”的两名学生的概率.
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【题目】除夕夜中央电视台举办的“2019年春节联欢晚会”受到广泛的关注,重庆某组织就“2019年春节联欢晚会”节目的喜爱程度,在解放碑进行了问卷调查,并将问卷调查的结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级,分别记作,,,;根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)此次参与调查的人数是_________,扇形统计图中等级C人数对应的圆心角是_____________度,并将条形统计图补充完整;
(2)结合调查结果谈谈,如果你是春晚导演,你将如何设计节目从而提高年轻人对晚会的喜爱程度.
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【题目】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2是弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,求S2的值.以下是求S2的值的解题过程,请你根据图形补充完整.
解:设每个直角三角形的面积为S
S1﹣S2= (用含S的代数式表示)①
S2﹣S3= (用含S的代数式表示)②
由①,②得,S1+S3= 因为S1+S2+S3=10,
所以2S2+S2=10.
所以S2=.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:如果y′=,那么称点Q为点P的“伴随点”.
例如:点(5,6)的“伴随点”为点(5,6);点(﹣5,6)的“伴随点”为点(﹣5,﹣6).
(1)直接写出点A(2,1)的“伴随点”A′的坐标.
(2)点B(m,m+1)在函数y=kx+3的图象上,若其“伴随点”B′的纵坐标为2,求函数y=kx+3的解析式.
(3)点C、D在函数y=﹣x2+4的图象上,且点C、D关于y轴对称,点D的“伴随点”为D′.若点C在第一象限,且CD=DD′,求此时“伴随点”D′的横坐标.
(4)点E在函数y=﹣x2+n(﹣1≤x≤2)的图象上,若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m(1≤m≤3),直接写出实数n的取值范围.
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【题目】综合与探究
已知:、是方程的两个实数根,且,抛物线的图像经过点、.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线与轴的另一交点为,抛物线的顶点为,试求出点、的坐标和的面积;
(3)是线段上的一点,过点作轴,与抛物线交于点,若直线把分成面积之比为的两部分,请直接写出点的坐标 ;
(4)若点在直线上,点在平面上,直线上是否存在点,使以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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