已知抛物线y=x2+x-2k．(1)求证:不论k为任何实数时.该抛物线与x轴总有交点,(2)若抛物线y=x2+x-2k与x轴两个交点坐标分别为A(x1.0).B(x2.0).x1＜x2且AB=3.求k的值．(3)若k＞0.若抛物线y=x2+x-2k与x轴两个交点坐标分别为A(x1.0).B(x2.0).x1＜x2.顶点为C.与y轴的交点为D.若AC⊥BD.试求k的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．已知抛物线y=x²+（1-2k）x-2k．
（1）求证：不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）若抛物线y=x²+（1-2k）x-2k与x轴两个交点坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂且AB=3，求k的值．
（3）若k＞0，若抛物线y=x²+（1-2k）x-2k与x轴两个交点坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，顶点为C，与y轴的交点为D，若AC⊥BD，试求k的值．

分析（1）只要证明判别式△≥即可证得；
（2）利用一元二次方程根据的判别式，则|x₁-x₂|=3，据此列方程求解即可；
（3）令y=0，则x²+（1-2k）x-2k=0，解得x₁=-1，x₂=2k，得到A（-1，0），B（2k，0），求得C（$\frac{2k-1}{2}$，-$\frac{（2k+1）^{2}}{4}$），D（0，-2k），得到直线AC的解析式为y=-$\frac{2k+1}{2}$x-$\frac{2k+1}{2}$，直线BD的解析式为y=x-2k，由于AC⊥BD，得到两直线的斜率=-1，如何列方程即可得到结论．

解答解：（1）令y=0，则x²+（1-2k）x-2k=0，
△=（1-2k）²-4×1×（-2k）=4k²+4k+1=（2k+1）²≥0，
∴不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）令y=0，则x²+（1-2k）x-2k=0，x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=-2k，
∵AB=|x₁-x₂|=3，
∴（x₁-x₂）²=9，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=9，
∴（2k-1）²+8k=9，
解得k₁=1，k₂=-2．
则当k¹=1，k²=-2时，△＞0，符合题意，
∴k₁=1，k₂=-2；
（3）令y=0，则x²+（1-2k）x-2k=0，
解得：x₁=-1，x₂=2k，
∴A（-1，0），B（2k，0），
∵顶点为C，与y轴的交点为D，
∴C（$\frac{2k-1}{2}$，-$\frac{（2k+1）^{2}}{4}$），D（0，-2k），
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{2k+1}{2}$x-$\frac{2k+1}{2}$，
直线BD的解析式为y=x-2k，
∵AC⊥BD，
∴-$\frac{2k+1}{2}$×1=-1，
解得：k=$\frac{1}{2}$．

点评本题考查了二次函数与x轴的交点的判断，二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

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