Question

如图，已知直线AB和CD相交于点O（∠AOC为锐角）
（1）写出∠AOC和∠BOD的大小关系

∠AOC=∠BOD

；判断的依据是

对顶角相等

．
（2）过点O作射线OE、OF，若∠COE=90°，OF平分∠AOE，画出图形并求∠AOF+∠COF的度数，说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，若∠AOD=120°，请计算∠COF的度数．

Answer 1

分析：（1）根据对顶角相等的性质解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，然后求出∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE，即可得解；
（3）根据邻补角的定义求出∠AOC，再分①OE在∠BOC内部时，先求出∠AOE，然后根据角平分线的定义求出∠AOF，最后根据∠COF=∠AOF-∠AOC代入数据进行计算即可得解；②OE在∠AOD内部时，先求出∠AOE，然后根据角平分线的定义求出∠AOF，最后根据∠COF=∠AOF+∠AOC代入数据进行计算即可得解．

解答：解：（1）∠AOC=∠BOD，判断的依据是对顶角相等；

（2）∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∴∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE，
∵∠COE=90°，
∴∠AOF+∠COF=90°；

（3）∵∠AOD=120°，
∴∠AOC=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
①OE在∠BOC内部时，如图1，∠AOE=∠AOC+∠COE=60°+90°=150°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=

1

2

∠AOE=

1

2

×150°=75°，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC=75°-60°=15°；
②OE在∠AOD内部时，如图2，∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-60°=30°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=

1

2

∠AOE=

1

2

×30°=15°，
∴∠COF=∠AOF+∠AOC=15°+60°=75°；
综上所述，∠COF的度数是15°或75°．

点评：本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，是基础题，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．