Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交射线BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）如图①，当点F在线段BC上时，EG与CG的数量关系为

 

，位置关系为

 

；当点F与BC的延长线相交时（如图②），EG与CG的数量和位置关系是否成立？若成立，加以证明，不成立，请说明理由．
（2）若正方形ABCD的边长为4，问点E在BD何处时，EG的取值最小，并求出EG的最小值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由垂直的定义及正方形的性质就可以得出△DEF与△DCF为直角三角形，由直角三角形的性质就可以得出EG=GD=CG=

1

2

DF，∠DGC=2∠BDC=90°而得出结论；如图②由直角三角形的性质就可以得出EG=GD=CG=

1

2

DF，由点D、E、C、F四点共圆就可以得出DF时直径，点G是圆心，就有∠EGC=2∠EDC=90°得出结论；
（2）如图3，由（1）的结论可以得出EG=

1

2

DF，要使EG最小，则DF最小，由F在射线BC上，只有DF⊥BC时BF=CD最小，就可以求出EG的最小值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°．
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°．
∵G为DF中点，
∴EG=GD=CG=

1

2

DF，
∴∠EGF=2∠EDF，∠CGF=2∠CDF，
∴∠EGF+∠CGF=2（∠EDF+∠CDF）=2∠CDE=2×45°=90°
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．
故答案为：EG=CG，EG⊥CG．
如图2，EG=CG，EG⊥CG．
理由：∵四边形ABCD时正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°．
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°．
∴点D、E、C、F四点共圆．
∴DF为直径．
∵G为DF中点，
∴G为圆心，
∴∠EGC=2∠EDC=90°，
∴EG⊥CG．
∵∠DEF=90°，∠BCD=90°，
∴△DEF与△DCF为直角三角形．
∵G为DF中点，
∴EG=

1

2

DF．CG=

1

2

DF，
∴EG=CG．
（2）如图3，∵EG=

1

2

DF，
∴要使EG最小，
∴DF最小．
∵F在射线BC上，
∴DF⊥BC时BF=CD最小．
∵CD=4，
∴EG的最小值=

1

2

×4=2．
答：EG的最小值为2．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，四点共圆的性质的运用，点到直线的性质定理的运用，解答时灵活运用直角三角形的性质求解是关键，点到直线的性质的运用是难点．