Question

11．已知$\frac{tanα}{tanα-1}$=-1，求下列各式的值．
（1）$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$；
（2）sin²α+sinαcosα+2．

Answer 1

分析 由$\frac{tanα}{tanα-1}$=-1，求出tanα=$\frac{1}{2}$．
（1）将所求代数式的分子与分母同时除以cosα，根据tanα=$\frac{sinα}{cosα}$得出原式=$\frac{tanα-3}{tanα+1}$，再将tanα=$\frac{1}{2}$代入计算即可；
（2）将所求代数式的前两项分母化为1，再把分子与分母同时除以cos²α，得出原式=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$+2
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$+2，然后将tanα=$\frac{1}{2}$代入计算即可．

解答 解：∵$\frac{tanα}{tanα-1}$=-1，
∴tanα=-tanα+1，
∴tanα=$\frac{1}{2}$．
（1）$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$
=$\frac{tanα-3}{tanα+1}$
=$\frac{\frac{1}{2}-3}{\frac{1}{2}+1}$
=-$\frac{5}{3}$；

（2）sin²α+sinαcosα+2
=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$+2
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$+2
=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}$+2
=$\frac{3}{5}$+2
=2$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin²A+cos²A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=$\frac{sinA}{cosA}$或sinA=tanA•cosA．也考查了学生的计算能力．