Question

如图，锐角△ABC中，A关于BC的对称点为D，B关于AC为E．
（1）若△ABC为等腰三角形，即CB=CA，求证：△CDM≌△CEN；
（2）探究一；当锐角△ABC应满足什么条件时，四边形CDFE为菱形？
（3）探究二；当∠ACB应满足什么条件时，点C在DE直线上？当∠ACB满足什么条件，C在直线DE外？

Answer 1

（1）证明：∵锐角△ABC中，A关于BC的对称点为D，B关于AC为E．
∴CD=CA，CE=CB，∠CMD=∠CNE=90°，∠DCM=∠ACM，∠ECN=∠BCN，
∴∠DCM=∠ECN，
∵CB=CA，
∴CD=CE，
在△CDM和△CEN中，
，
∴△CDM≌△CEN（AAS）；

（2）解：当锐角△ABC是等腰三角形且顶角∠ACB=45°时，四边形CDFE为菱形．
若四边形CDFE为菱形，则需CD=CE，CD∥EF，
∴由（1）得：当△ABC为等腰三角形，即CB=CA时，△CDM≌△CNE，此时CD=CE，
∴∠CDM=∠CEN，
设∠DCM=∠ECN=∠ACB=x°，
∵∠CNE=90°，
∴∠CEN=90°-x°，
∵CD∥EF，
∴∠DCE+∠CEN=180°，
∴3x+90-x=180，
解得：x=45，
∴∠ACB=45°，
即当锐角△ABC是等腰三角形且顶角∠ACB=45°时，四边形CDFE为菱形．

（3）解：当∠ACB=60°时，点C在DE直线上；当0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°时，C在直线DE外．
理由：∵若点C在DE直线上，则需D，C，E三点共线，
即∠DCE=180°，
∵∠DCM=∠ACB=∠ECN，
∴∠ACB=60°，
∴当∠ACB=60°时，点C在DE直线上；
∵△ACB是锐角三角形，
∴当0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°时，C在直线DE外．
综上可得：当∠ACB=60°时，点C在DE直线上；当0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°时，C在直线DE外．
分析：（1）由锐角△ABC中，A关于BC的对称点为D，B关于AC为E，△ABC为等腰三角形，即CB=CA．易证得CD=CA=CE=CB，∠DCM=∠ACB=∠ECN，∠CMD=∠CNE=90°，则可由AAS判定：△CDM≌△CEN；
（2）由若四边形CDFE为菱形，则需CD=CE，CD∥EF，由（1）可得当△ABC为等腰三角形，即CB=CA时，△CDM≌△CNE，此时CD=CE，然后设∠DCM=∠ECN=∠ACB=x°，易求得∠ACB=45°，即可得当锐角△ABC是等腰三角形且顶角∠ACB=45°时，四边形CDFE为菱形；
（3）由若点C在DE直线上，则需D，C，E三点共线，即∠DCE=180°，可求得当∠ACB=60°时，点C在DE直线上；又由△ACB是锐角三角形，可得当0°＜∠ACB＜60°或60°＜∠ACB＜90°时，C在直线DE外．
点评：此题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及轴对称的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．