Question

27、已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，AB=CD，AE∥DC交BC于E，G为AE中点，DG延长线交BC于F．
（1）说明：△AGD≌△EGF
（2）若AD+BF=DC，
①说明：AE⊥BG
②求∠C的度数．

Answer 1

分析：（1）要证△AGD≌△EGF，由于AD∥BC，很容易就可得内错角相等，又G为AE的中点，所以AG=GE，由AAS可证．
（2）①要证AE⊥BG，G为AE的中点，所以只要证AB=BE，由等腰三角形的性质：底边上的三线合一，可得证．
②要求∠C的度数，因CD∥AE，所以∠C=∠AEB就是求∠AEB的度数（平行四边形的同位角相等），由①得AB=BE，所以∠BAE=∠AEB，由四边形ABCD为等腰梯形，所以∠C=∠ABC，所以∠C=∠AEB=∠ABC=∠AEB，所以△ABE为等边三角形．所以∠C为60°

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠GEF，∠ADG=∠GFE，
又G为AE的中点
∴AG=GE．
∴△AGD≌△EGF（AAS）．

（2）①由（1）△AGD≌△EGF，得AD=EF．
∵AD+BF=DC，
∴EF+BF=CD=BE．
∵AB=CD，
∴AB=BE．
所以三角形ABE是以AE为底边的等腰三角形．
又∵G为AE的中点，
∴AE⊥BG．

②∵CD∥AE，
∴∠C=∠AEB，
由①得AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠C=∠ABC．
∴∠C=∠BAE=∠AEB，
∴∠C=60°（三角形的内角和为180°）．

点评：本题考查的是三角形全等的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的性质、平行线上同位角相等的性质及三角形内角和180°等知识点，综合性强，难度较大．