Question

8．根据要求，回答以下问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BO上的一点，BG垂直AE于F，交AC于点G．请你直接写出AE、BG以及OE、OG的大小关系是：AE=BG，OE=OG．
（2）如图2，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BO上的一点，BG垂直AE于F，交AC于点G，且AC=6，BD=8，请你求出AE、BG的数量关系．
（3）如图3，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=24，∠AOB=60°，点E是BO上的一点，OE=1，点G在对角线AC所在的直线上，当OG=3或9时，AE：BG=1：3．

Answer 1

分析 （1）如图1中，结论：AE=BG，OE=OG，只要证明△AOE≌△BOG即可．
（2）如图2中，结论：4•AE=3•BG，只要证明△AOE∽△BOG即可．
（3）如图3中，OG=3或9时，AE：BG=1：3，①只要证明△BOG∽△AOE即可，②只要证明BG=BG′即可．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OD=OC，
∵AF⊥BG，
∴∠AOE=∠AFB=90°，
∵∠EAO+∠AE0=90°，∠EBF+∠BEF=90°，
∵∠AEO=∠BEF，
∴∠EAO=∠OBG，
在△AOE和△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠OBG}\\{AO=OB}\\{∠AOE=∠BOG}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG，
∴AE=BG，OE=OG，
故答案为=，=．

（2）如图2中，结论：4AE=3BG，

理由：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
∵AF⊥BG，
∴∠AOE=∠AFB=90°，
∵∠EAO+∠AE0=90°，∠EBF+∠BEF=90°，
∵∠AEO=∠BEF，
∴∠EAO=∠OBG，
∵∠AOE=∠BOG=90°，
∴△AOE∽△BOG，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{3}{4}$，
∴4AE=3BG．
（3）如图3中，OG=3或9时，AE：BG=1：3．

①当OG=3时，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=4，OB=OD=12，
∵OE=1，OG=3，
∴$\frac{OG}{OE}$=3，$\frac{OB}{OA}$=3，
∴$\frac{OG}{OE}$=$\frac{OB}{OA}$，
∵∠BOG=∠AOE，
∴△BOG∽△AOE，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{OE}{OG}$=$\frac{1}{3}$．
②当OG′=9时，作BK⊥CG′，
∵在RT△BOK中，∵∠BOK=60°，OB=12，∠BKO=90°，
∴OK=$\frac{1}{2}$OB=6，
∴AK=OK-OA=6-4=2，
∵AG′=OG′-OA=5，
∴KG′=3，
∵KG=AK+AG=2+1=3，
∴KG′=KG，
∵BK⊥GG′，
∴BG=BG′，
∴AE：BG′=AE：BG=1：3．
故答案为3或9．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，第三个问题有两解，注意考虑问题要全面，属于中考压轴题．