分析 (1)把点A(1,4)代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值,即可得出反比例函数的解析式;求出点B的坐标,用待定系数法求出直线AB的解析式,容易求出D点的坐标;
(2)①证明△ACD为等腰直角三角形,得出∠ADC=45°,由等腰直角三角形的性质得出CP=PD,CP⊥AD,∠ADC=∠ACP,由SAS证明△ECP≌△FDP,即可得出PE=PF;
②由△ECP≌△FDP,得出∠EPC=∠FPD,得出∠EPF=∠CPD=90°,证出△EPF为等腰直角三角形,得出△PEF的面积S=$\frac{1}{2}$PE2,当PE⊥AC时,PE最小,求出PE的最小值,即可得出S的最小值.
解答 (1)解:把点A(1,4)代入y=$\frac{k}{x}$得:k=4,
∴反比例函数的解析式为:y=$\frac{4}{x}$;
把点B(4,n)代入得:n=1,
∴B(4,1)
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b得:$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$,
解得:k=-1,b=5,
∴直线AB的解析式为:y=-x+5,
当y=0时,x=5,
∴D点坐标为:(5,0);
(2)①证明:∵A(1,4),C(1,0 ),D(5,0),AC⊥x轴于C,
∴AC=CD=4,
∴△ACD为等腰直角三角形,
∴∠ADC=45°,
∵P为AD中点,
∴∠ACP=∠DCP=45°,CP=PD,CP⊥AD,
∴∠ADC=∠ACP,
∵点E,F分别从C,D两点同时出发,以每秒1个单位的速度沿CA,DC运动,
∴EC=DF,
在△ECP和△FDP中,$\left\{\begin{array}{l}{CP=PD}&{\;}\\{∠ECP=∠PDF}&{\;}\\{EC=DF}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ECP≌△FDP(SAS),
∴PE=PF;
②解:∵△ECP≌△FDP,
∴∠EPC=∠FPD,
∴∠EPF=∠CPD=90°,
∴△PEF为等腰直角三角形,
∴△PEF的面积S=$\frac{1}{2}$PE2,
∴△PEF的面积最小时,EP最小,
∵当PE⊥AC时,PE最小,
此时EP最小值=$\frac{1}{2}$CD=2,
∴△PEF的面积S的最小值=$\frac{1}{2}$×22=2.
点评 本题是反比例函数综合题目,考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(2)中,需要证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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A. | 了解某种酸奶中钙的含量 | B. | 了解某班学生的课外作业时间 | ||
C. | 公司招聘职员,对应聘人员的面试 | D. | 旅客上飞机前的安检 |
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A. | (a+b)2=a2+b2 | B. | (-2ab3)2=-4a2b6 | C. | 3a2-2a3=a6 | D. | a3-a=a(a+1)(a-1) |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | C. | -$\frac{1}{\sqrt{3}}$ | D. | -$\frac{1}{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 第一、二象限 | B. | 第一、三象限 | C. | 第二、四象限 | D. | 第三、四象限 |
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