Question

7．在?ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于F点．
（1）如图1，∠ABC=90°，求证：F为CB′的中点；
（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为CB′的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：过点B′作B′G∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；
想法2：连接BB′交AD于H点，只需证H为BB′的中点；
想法3：连接BB′，BF，只需证∠B′BC=90°．
…
请你参考上面的想法，证明F为CB′的中点．（一种方法即可）
（3）如图3，当∠ABC=135°时，AB′，CD的延长线相交于点E，求$\frac{CE}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明：根据已知条件得到□ABCD为矩形，AB=CD，根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，由轴对称的性质得到∠1=∠2，AB=AB′，根据平行线的性质得到∠2=∠3，∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠4=∠D，根据全等三角形的性质即可得到结论；方法2：连接BB′交直线AD于H点，根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB，由平行线分线段成比例定理得到结论；方法3：连接BB′，BF，根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行线的性质得到∠B′BC=90°，根据余角的性质得到∠3=∠4，于是得到结论；
（3）取B′E的中点G，连结GF，由（2）得，F为CB′的中点，根据平行线的性质得到∠BAD=180°-∠ABC=45°，由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°，根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴□ABCD为矩形，AB=CD，
∴∠D=∠BAD=90°，
∵B，B′关于AD对称，
∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，
∴∠B′AD=∠D，
∵∠AFB′=∠CFD，
在△AFB′与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B′AD=∠D}\\{∠AFB′=∠CFD}\\{AB′=CD}\end{array}\right.$，
∴△AFB′≌△CFD（AAS），
∴FB′=FC，
∴F是CB′的中点；

（2）证明：
方法1：如图2，过点B′作B′G∥CD交AD于点G，
∵B，B′关于AD对称，
∴∠1=∠2，AB=AB′，
∵B′G∥CD，AB∥CD，
∴B′G∥AB．
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴B′A=B′G，
∵AB=CD，AB=AB′，
∴B′G=CD，
∵B′G∥CD，
∴∠4=∠D，
∵∠B′FG=∠CFD，
在△B′FG与△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠D}\\{∠B′FG=∠DFC}\\{B′G=CD}\end{array}\right.$，
∴△B′FG≌△CFD（AAS），
∴FB′=FC，
∴F是CB′的中点；

方法2：连接BB′交直线AD于H点，
∵B，B′关于AD对称，
∴AD是线段B′B的垂直平分线，
∴B′H=HB，
∵AD∥BC，
∴$\frac{B′F}{FC}$=$\frac{B′H}{HB}$=1，
∴FB′=FC．
∴F是CB′的中点；
方法3：连接BB′，BF，
∵B，B′关于AD对称，
∴AD是线段B′B的垂直平分线，
∴B′F=FB，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴B′B⊥BC，
∴∠B′BC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FB=FC，
∴B′F=FB=FC，
∴F是CB′的中点；

（3）解：取B′E的中点G，连结GF，
∵由（2）得，F为CB′的中点，
∴FG∥CE，FG=$\frac{1}{2}$CE，
∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC=45°，
∴由对称性，∠EAD=∠BAD=45°，
∵FG∥CE，AB∥CD，
∴FG∥AB，
∴∠GFA=∠FAB=45°，
∴∠FGA=90°，GA=GF，
∴FG=sin∠EAD•AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，
∴由①，②可得$\frac{CE}{AF}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．