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19.已知正方形ABCD,△BEF是等腰直角三角形(BE=EF),联结FD,在FD上取中点G,联结EC和CG,求证:
(1)EG=CG;
(2)EG⊥CG.

分析 (1)连接BD取BD中点O,取BF中点Q,连接OG、EQ、GQ、OC.只要证明△EQG≌△GOC即可.
(2)QG与OC交于点O′,先证明∠GO′C=90°,再利用全等三角形的性质即可解决问题.

解答 证明:(1)连接BD取BD中点O,取BF中点Q,连接OG、EQ、GQ、OC.
∵DO=OB,DG=GF,
∴OG=$\frac{1}{2}$BF,OG∥BF,
∵DG=GF,FQ=QF,
∴GQ∥BD,GQ=$\frac{1}{2}$BD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∴OC=$\frac{1}{2}$BD=QG,OC⊥BD,
∴∠GOC=90°-∠OGQ,
∵BE=EF,∠BEF=90°,
∴EQ⊥BF,∠EQF=90°,
∴∠EQG=90°-∠GQF,
∵∠OGQ=∠GQF,
∴∠GOC=∠EQG,
在△EQG和△GOC中,
$\left\{\begin{array}{l}{EQ=OG}\\{∠EQG=∠GOC}\\{GQ=OC}\end{array}\right.$,
∴△EQG≌△GOC,
∴GC=EQ.
(2)QG与OC交于点O′.
∵△EQG≌△GOC,
∴∠EGQ=∠GCO,
∵OC⊥BD,QG∥BD,
∴OC⊥QG,∠GO′C=90°
∴∠OCG+∠QGC=90°,
∴∠EGQ+∠QGC=90°
∴∠EGC=90°,
∴EG⊥GC.

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,学会利用三角形中位线添加辅助线,掌握证明垂直的方法,属于中考常考题型.

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