Question

20．如图，平面直角坐标系中，已知等腰Rt△ABC的直角边 BC=2，且BC在x轴正半轴上滑动，设点 C 的横坐标为m，经过O、C两点得到抛物线 y₁=ax（x-m）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E．直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0）
（1）填空：用含m的代数式表示点A的坐标及k的值：A﹙m，2﹚，k=$\frac{2}{m}$（k＞0）；
（2）随着三角板的滑动，当$a=\frac{1}{2}$时：
①试证明：抛物线y₁=ax（x-m）的顶点在函数$y=-\frac{1}{2}{x^2}$的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求m的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当m≤x≤m+2，|y₂-y₁|的值随x的增大而减小，当x≥m+2时，|y₂-y₁|的值随x的增大而增大，求a与m的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；
（2）①求得抛物线y₁的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=-$\frac{1}{2}$x²，若该点满足函数解析式y=-$\frac{1}{2}$x²，即表示该顶点在函数y=-$\frac{1}{2}$x²图象上；反之，该顶点不在函数y=-$\frac{1}{2}$x²图象上；
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x（x-m）即可求得m=1；
（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是$\frac{2}{am}$+m．则m+2=$\frac{2}{am}$+m，由此可以求得a与m的关系式．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC的直角边 BC=2，
∵点 C 的横坐标为m，
∴AC=2，
∴点A的坐标是（m，2）．
又∵直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0），
∴2=km，则k=$\frac{2}{m}$（k＞0）．
故答案为：m，2；$\frac{2}{m}$（k＞0）．

（2）①当a=$\frac{1}{2}$时，y₁=$\frac{1}{2}$x（x-m），其顶点坐标为（$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{8}$）．
对于y=-$\frac{1}{2}$x²来说，当x=$\frac{m}{2}$时，y=-$\frac{1}{2}$×$\frac{{m}^{2}}{4}$=-$\frac{{m}^{2}}{8}$，即点（$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{8}$）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²上．
故当a=$\frac{1}{2}$时，抛物线y₁=ax（x-m）的顶点在函数y=-$\frac{1}{2}$x²的图象上；

②如图，

过点E作EK⊥x轴于点K．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EK．
∵点E是线段AB的中点，
∴K为BC的中点，
∴EK是△ACB的中位线，
∴EK=$\frac{1}{2}$AC=1，CK=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴E（m+1，1）．
∵点E在抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x（x-m）上，
∴$\frac{1}{2}$（m+1）（m+1-m）=1，
解得m=1．

（3）如图2，

∵直线OA与抛物线的另一个交点为点D
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{m}x}\\{y=a（x-m）}\end{array}\right.$，则$\frac{2}{m}$x=ax（x-m），
解得x=$\frac{2}{am}+m$，或x=0（不合题意，舍去）．
故点D的横坐标是$\frac{2}{am}+m$，
当x=$\frac{2}{am}+m$，时，|y₂-y₁|=0，由题意得m+2=$\frac{2}{am}+m$，
∴am=1．
∵y₂-y₁=$\frac{2}{m}$x-ax（x-m）=-ax²+（am+$\frac{2}{m}$）x=-a[x²-（m+$\frac{2}{am}$）x+（$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$）²]+a（$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$）²
=-a[x-（$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$）]²+a（$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$）²
∴当x=$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$时，y₂-y₁取得最大值，
又∵当x=$\frac{2}{am}+m$时，|y₂-y₁|=0，
∴当$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$≤x≤$\frac{2}{am}$+m时，|y₂-y₁|随x的增大而减小；当x≥$\frac{2}{am}$+m时，|y₂-y₁|随x的增大而增大．
根据题意需要满足当m≤x≤m+2，|y₂-y₁|的值随x的增大而减小，当x≥m+2时，|y₂-y₁|的值随x的增大而增大，
∴m≥$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{am}$可满足条件，
∵am=1，
∴解得m≥2．
综上所述，a与m的关系式及m的取值范围为am=1（m≥2）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．