Question

已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.

（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段AE的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）15.

试题分析：（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC；（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE.
试题解析：（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB.
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC. ∴∠ABD=∠DBC.
∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。∴△ABE∽△DBC.
（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE="DE." ∴BD=2BE.
由△ABE∽△DBC，得.
∵AB=AD=25，BC=32，∴，解得BE=20.
∴.